50Ω Lernplattform für Amateurfunk

Lösungsweg: AD106

Frage: Wie groß ist die Spannung $U$, wenn durch $R_3$ ein Strom von 1 mA fließt und alle Widerstände $R_1$ bis $R_3$ je 10 kOhm betragen?

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Kurzfassung: Schaltplan mit drei Widerständen: R1 liegt in der oberen Leitung in Serie, danach verzweigt der Strom auf zwei parallele Zweige mit R2 und R3; links ist die Spannung U mit Plus oben und Minus unten angegeben, der Strompfeil I zeigt nach rechts.

Detailbeschreibung: Links verbinden zwei offene Klemmen die obere und untere Sammelschiene; neben der linken Vertikalleitung steht „U“, mit „+“ am oberen Anschluss und „−“ am unteren; ein Pfeil entlang dieser Leitung zeigt nach unten. Auf der oberen Sammelschiene ist links ein Pfeil nach rechts mit der Beschriftung „I“. Direkt rechts davon liegt ein rechteckiges Widerstandssymbol mit der Aufschrift „R1“ in Serie. Die obere Leitung führt danach zu einem Knoten (schwarzer Punkt). Von diesem Knoten führt ein senkrechter Zweig nach unten durch einen rechteckigen Widerstand „R2“ zu einem unteren Knoten (schwarzer Punkt) auf der unteren Sammelschiene. Die obere Leitung geht außerdem vom ersten Knoten weiter nach rechts und biegt dann nach unten ab; in diesem rechten Vertikalzweig sitzt ein weiterer rechteckiger Widerstand „R3“, der unten wieder auf die untere Sammelschiene trifft. Die untere Sammelschiene verläuft durchgehend zurück zum linken unteren Anschluss. Sichtbare Beschriftungen: „U“, „+“, „−“, „I“, „R1“, „R2“, „R3“.

Lösung: 30 V

Da alle Widerstände gleich groß sind, gilt:

$$ R_1 = R_2 = R_3 = \qty{10}{\kilo\ohm} $$

Durch $R_3$ fließt ein Strom von:

$$ I_{R_3} = \qty{1}{\milli\ampere} $$

Da $R_2$ und $R_3$ parallel geschaltet sind und den gleichen Widerstand besitzen, fließt durch $R_2$ ebenfalls:

$$ I_{R_2} = \qty{1}{\milli\ampere} $$

Der Strom durch $R_1$ ist die Summe beider Teilströme:

$$ I_{R_1} = I_{R_2} + I_{R_3} = \qty{1}{\milli\ampere} + \qty{1}{\milli\ampere} = \qty{2}{\milli\ampere} $$

Nun wird zuerst der Ersatzwiderstand der Parallelschaltung aus $R_2$ und $R_3$ berechnet:

$ R_{23} = \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3} = \frac{\qty{10}{\kilo\ohm} \cdot \qty{10}{\kilo\ohm}} {\qty{10}{\kilo\ohm} + \qty{10}{\kilo\ohm}} = \qty{5}{\kilo\ohm} $

Der Gesamtwiderstand der Schaltung beträgt damit:

$$ R_\mathrm{ges} = R_1 + R_{23} = \qty{10}{\kilo\ohm} + \qty{5}{\kilo\ohm} = \qty{15}{\kilo\ohm} $$

Mit dem Gesamtstrom ergibt sich die Gesamtspannung:

$$ U = I \cdot R = \qty{2}{\milli\ampere} \cdot \qty{15}{\kilo\ohm} = \qty{30}{\volt} $$