Reihen- und Parallelschaltung von Bauelementen
Widerstand in Reihen- und Parallelschaltung
Reihenschaltung
Bei einer Reihenschaltung addieren sich die Widerstandswerte
$R_{ G } = R_{ 1 } + R_{ 2 } + R_{ 3 }$
Beispiel: $R_{ G } = 100 \Omega + 200 \Omega + 300 \Omega$
Parallelschaltung
Bei einer Parallelschaltung von Widerständen ist der Gesamtwiderstand kleiner als der Wert des kleinsten Widerstandes
$\frac{ 1 }{ R_{ G } } = \frac{ 1 }{ R_{ 1 } } + \frac{ 1 }{ R_{ 2 } } + \frac{ 1 }{ R_{ 3 } }$
Vereinfachung für zwei Widerstände:
$R_{ G } = \dfrac{ R_{ 1 } \cdot R_{ 2 } }{ R_{ 1 } + R_{ 2 }}$
Vereinfachung für gleiche Widerstände:
$R_{ G } = \dfrac{ R }{ n }$
$n$ steht für die Anzahl der Widerstände
A:
B:
C:
D:
A:
B:
C:
D:
A:
B:
C:
D:
Gemischte Schaltungen
Variante 1: Zwei Parallel und dazu einer in Reihe
Hier berechnet man zuerst die Parallelschaltung von $R_2$ und $R_3$ und addiert dann $R_1$ hinzu.
$R_{ G } = \dfrac{ R_{ 2 } \cdot R_{ 3 } }{ R_{ 2 } + R_{ 3 }} + R_{ 1 }$
Variante 2: Zwei in Reihe und dazu einer Parallel
Hier addiert man zuerst $R_1$ und $R_2$ um mit diesem Ergebnis die Parallelschaltung zu $R_3$ zu berechnen.
$R_{ G } = \dfrac{ (R_{ 1 } + R_{ 2 }) \cdot R_{ 3 }} {( R_{ 1 } + R_{ 2 }) + R_{ 3 }}$
A:
B:
C:
D:
A:
B:
C:
D:
A:
B:
C:
D:
A:
B:
C:
D:
A:
B:
C:
D:
A:
B:
C:
D:
Belastbarkeit von Widerständen in Reihen- und Parallelschaltung
- Bei einer Reihenschaltung teilen sich die Spannungen auf.
- Bei einer Parallelschaltung teilen sich die Ströme auf.
- Somit ist bei der Berechnung mittels $P = U \cdot I$ immer ein Wert konstant und der andere entspechend kleiner.
- ⇒ die Gesamtbelastbarkeit ist in beiden Fällen größer als die Einzelbelastbarkeit.
A:
B:
C:
D:
Widerstandsnetzwerke I
- Bei einer komplexeren Schaltung geht man wie folgt vor: In kleinere Teile auflösen und diese berechnen, danach die Schaltung neu zeichnen und überlegen wie es weitergeht
- Schauen wir uns die Beispielschaltung mal genauer an
- $R_5$ und $R_7$ liegen in Reihe und dazu ist $R_8$ parallel geschaltet. Wir berechen diese und nennen den Wert dann $R_{ 5,7,8 }$
- $R_3$ und $R_6$ liegen in Reihe und dazu ist $R_2$ parallel geschaltet. Wir berechen diese und nennen den Wert dann $R_{ 2,3,6 }$
- Dann schauen wir uns an, was von der Schaltung übrig geblieben ist.
- Wir sehen eine Reihenschaltung von 4 Widerständen, die sich leicht berechnen lässt.
- Damit können wir dann auch die folgenden Prüfungsfragen leicht beantworten.
A:
B:
C:
D:
A:
B:
C:
D:
Spannungsteiler I
- Eine Reihenschaltung von Widerständen nennt man auch Spannungsteiler, weil die Spannungen sich an den Widerständen aufteilen.
- Je größer der Widerstand, desto größer die Spannung, die an ihm abfällt.
- Das kann man mathematisch in folgender Formel ausdrücken (Formelsammlung):
$\dfrac{ U_{ 1 } }{ U_{ 2 } } = \dfrac{ R_{ 1 } }{ R_{ 2 } }$
Wie geht man an die Aufgaben ran?
- Beispiele:
- Wenn $R_{ 1 }$ drei mal so groß wie $R_{ 2 }$ ist, ist $U_{ 1 }$ drei mal so groß wie $U_{ 2 }$.
- Wenn $R_{ 1 }$ $\frac{ 1 }{ 3 }$ so groß wie $R_{ 2 }$ ist, ist $U_{ 1 }$ $\frac{ 1 }{ 3 }$ so groß wie $U_{ 2 }$.
Schauen wir uns dazu zwei Aufgaben an.
A: $U_1 = \frac{U_2}{6}$
B: $U_1 = 6\cdot U_2$
C: $U_1 = \frac{U_2}{5}$
D: $U_1 = 5\cdot U_2$
A: $U_1 = \frac{U_2}{5}$
B: $U_1 = 5\cdot U_2$
C: $U_1 = 6\cdot U_2$
D: $U_1 = \frac{U_2}{6}$
- Die Summe der Spannnungsabfälle ist gleich der Spannung, die aus der Spannungsquelle herauskommt.
- Das kann man mathematisch in folgender Formel ausdrücken (Formelsammlung):
$U_{ G } = U_{ 1 } + U_{ 2 }$
- Hat man eine Gesamtspannung und muss $U_{ 2 }$ berechnen, können wir ebenfalls auf eine Formel aus der Formelsammlung zurückgreifen:
$\dfrac{ U_{ 2 } }{ U_{ G } } = \dfrac{ R_{ 2 } }{ R_{ 1 } + R_{ 2 } }$
- Diese muss man noch zu $U_{ 2 }$ umstellen, indem man auf beiden Seiten mit $U_{ G }$ multipliziert, dann erhält man:
$U_{ 2 } = \dfrac{ R_{ 2 } }{ R_{ 1 } + R_{ 2 } } \cdot U_{ G }$
- Damit kann man sich dann auch an die nächste Aufgabe heranwagen.
A:
B:
C:
D:
Kondensator in Reihen- und Parallelschaltung
Reihenschaltung
- Da die Spannung entscheidend für das Entstehen des elektrischen Feldes ist (und diese sich bei der Reihenschaltung aufteilt), ist die Berechung der Kapazität genau umgekehrt wie bei Widerständen.
- Anwendungsfall: Bei hohen Spannungen werden mehrere Kondensatoren in Reihe geschaltet, um die Gefahr eines Durchschlags zu verhindern. Dabei ist hilfreich, dass sich die Gesamtspannung an den Kondensatoren aufteilt.
- Bei einer Reihenschaltung von Kondensatoren ist die Gesamtkapazität kleiner als der Wert des kleinsten Kondensators
$\frac{ 1 }{ C_{ G } } = \frac{ 1 }{ C_{ 1 } } + \frac{ 1 }{ C_{ 2 } } + \frac{ 1 }{ C_{ 3 } }$
- Vereinfachung für zwei Kondensatoren:
$C_{ G } = \dfrac{ C_{ 1 } \cdot C_{ 2 } }{ C_{ 1 } + C_{ 2 }}$
- Vereinfachung für gleiche Kondensatoren:
$C_{ G } = \dfrac{ C }{ n }$
$n$ steht für die Anzahl der Kondensatoren
A:
B:
C:
D:
A:
B:
C:
D:
Parallelschaltung
- Hier ist es genau umgekehrt wie bei Widerständen, weil an allen Kondensatoren die gleiche Spannung anliegt, welche ja entscheidend für die Entstehung des elektrischen Feldes ist.
- Anwendungsfall: Kondensatoren werden parallel geschaltet, um aus der Normreihe auf den Wert zu kommen, den man benötigt.
- Bei einer Parallelschaltung addieren sich die Kapazitäten
$C_{ G } = C_{ 1 } + C_{ 2 } + C_{ 3 }$
A:
B:
C:
D:
A:
B:
C:
D:
Gemischte Schaltungen
Variante 1: Zwei Parallel und dazu einer in Reihe
- Hier berechnet man zuerst die Parallelschaltung von $C_{ 2 }$ und $C_{ 3 }$
$C_{ Gp } = C_{ 2 } + C_{ 3 }$
- Danach berechnet man die Reihenschaltung von $C_{ 1 }$ und $C_{ Gp }$
$C_{ G } = \frac{ C_{ 1 } \cdot C_{ Gp } }{ C_{ 1 } + C_{ Gp }}$
A:
B:
C:
D:
A:
B:
C:
D:
A:
B:
C:
D:
Variante 2: Zwei in Reihe und dazu einer Parallel
- Hier berechnet man zuerst die Reihenschaltung von $C_{ 1 }$ und $C_{ 2 }$
$C_{ Gr } = \frac{ C_{ 1 } \cdot C_{ 2 } }{ C_{ 1 } + C_{ 2 }}$
- Danach berechnet man die Parallelschaltung von $C_{ 3 }$ und $C_{ Gr }$
$C_{ G } = \frac{ C_{ 3 } \cdot C_{ Gr } }{ C_{ 3 } + C_{ Gr }}$
A:
B:
C:
D: