Spannungsteiler I

Eine Reihenschaltung aus zwei Widerständen wird häufig als Spannungsteiler verwendet. In der Klasse E betrachten wir zunächst den unbelasteten Spannungsteiler, wie er auch in den folgenden Aufgaben vorkommt. Bei einem unbelasteten Spannungsteiler verhalten sich die Spannungen proportional zu den Widerständen. Das bedeutet beispielsweise, dass an einem hochohmigen Widerstand eine größere Spannung abfällt, während an einem niederohmigen Widerstand eine entsprechend kleinere Spannung messbar ist.

Der folgende Alt-Text wurde noch nicht geprüft: Kurzfassung: Schaltbild mit zwei übereinander angeordneten Widerständen in einem vertikalen Zweig zwischen einer oberen und einer unteren Leitung; oben ein Strompfeil „I“ nach rechts und seitlich drei Spannungs-Pfeile „U_g“, „U1“ und „U2“ nach unten.

Detaillierte Beschreibung: Eine horizontale Leitung verläuft oben von links nach rechts und endet links und rechts in kleinen offenen Kreisen; darüber zeigt ein Pfeil mit der Beschriftung „I“ nach rechts. Etwa in der Mitte der oberen Leitung befindet sich ein ausgefüllter Knotenpunkt, von dem eine senkrechte Leitung nach unten führt. In dieser senkrechten Leitung liegt zuerst ein rechteckig gezeichneter Widerstand mit der Beschriftung „R1“. Darunter folgt ein weiterer ausgefüllter Knotenpunkt, von dem nach rechts eine kurze horizontale Leitung zu einem offenen Kreis führt. Weiter unten in der senkrechten Leitung befindet sich ein zweiter rechteckiger Widerstand mit der Beschriftung „R2“. Am unteren Ende trifft die senkrechte Leitung auf eine zweite horizontale Leitung; an der Berührstelle ist ein ausgefüllter Knotenpunkt, die untere Leitung endet links und rechts jeweils in einem offenen Kreis. Links neben dem Schaltbild verläuft ein langer Pfeil von oben nach unten mit der Beschriftung „U_g“. Rechts daneben stehen zwei separate, nach unten gerichtete Pfeile: der obere mit „U1“ auf Höhe von „R1“ und der untere mit „U2“ auf Höhe von „R2“. Alle Linien und Symbole sind in Schwarz auf weißem Hintergrund dargestellt. — Abbildung EA-6.4.1: Spannungsteiler

Einen wichtigen Spannungsteiler findet man z. B. an der Basis eines Transistors in einer Verstärkerschaltung. Man spricht deshalb vom Basis-Spannungsteiler. Das Schauen wir uns im Kapitel Verstärker genauer an.

Dieser Zusammenhang kann in verschiedenen Formeln dargestellt werden, welche wir in der Formelsammlung finden.:

$$\frac{ U_{ 1 } }{ U_{ 2 } } = \frac{ R_{ 1 } }{ R_{ 2 } }$$

oder

$$\frac{ U_{2} }{ U_{G} } = \frac{ R_{2} }{ R_{1} + R_{2} }$$

Bei einem belasteten Spannungsteiler gelten diese Formeln nicht. Fragen dazu folgen in der Klasse A.

Bei den folgenden Fragen wird der Begriff Spannnungsteiler nicht direkt erwähnt, aber durch die Wortwahl : „Wie teilt sich die Spannung an zwei in Reihe geschalteten Widerständen auf ....“ sollte man erkennen, dass es sich um einen Spannungsteiler handelt.

ED101: Wie teilt sich die Spannung an zwei in Reihe geschalteten Widerständen auf, wenn $R_1$ = 5-mal so groß ist wie $R_2$?

1) Kurzbeschreibung: Schaltplan mit zwei parallelen horizontalen Leitern; beide mit Anschlusspunkten an beiden Enden; im oberen ein Pfeil nach rechts mit der Beschriftung „I“; zwischen beiden horizontalen Leitern ein vertikaler Leiter mit zwei in Reihe geschalteten Widerständen „R_1“ und „R_2“; rechts neben den Widerständen jeweils ein Pfeil nach unten und die Beschriftung „U_1“ bzw. „U_2“; zwischen beiden Widerständen eine Abzweigung nach rechts mit einem weiteren Anschlusspunkt.

2) Ausführliche Beschreibung: Der Schaltplan besteht aus zwei parallelen horizontalen Leitern. Beide haben an beiden Enden einen Anschlusspunkt ohne Beschriftung. Im oberen horizontalen Leiter ist ein kleiner Pfeil nach rechts mit der Beschriftung „I“ eingezeichnet. Die beiden horizontalen Leiter sind über einen vertikalen Leiter mit zwei in Reihe geschalteten Widerständen „R_1“ und „R_2“ miteinander verbunden. Rechts neben den Widerständen ist jeweils ein Pfeil nach unten eingezeichnet und mit „U_1“ bzw. „U_2“ beschriftet. Zwischen beiden Widerständen geht eine Abzweigung mit Anschlusspunkt nach rechts ab.

Es sind keine konkreten Widerstandswerte angegeben, deshalb ist das Ergebnis als allgemeine Formel darzustellen. Laut Fragestellung ist $R_1$ 5-mal größer als $R_2$, also muss an ihm auch eine 5-mal größere Spannung gemessen werden können, bzw. $R_1 = 5 \cdot R_2$

Diesen Zusammenhang kann man als Formel angeben.

$$\frac{ U_{ 1 } }{ U_{ 2 } } = \frac{ 5\cdot R_2 }{ R_2 }$$

Die $R_2$ kürzen sich weg und es Ergibt sich:

$$\frac{ U_{ 1 } }{ U_{ 2 } } = \frac{ 5 }{ 1 }$$

Nach etwas umformen erhalten wir das Ergebnis:

$$ U_{ 1 } =U_{ 2 } \cdot \frac{ 5 }{ 1 }$$ $$ U_{ 1 } = 5 \cdot U_{ 2 }$$

ED102: Wie teilt sich die Spannung an zwei in Reihe geschalteten Widerständen auf, wenn $R_1 = \frac{1}{6}$ von $R_2$ ist?

Bei dieser Frage besteht der umgekehrte Zusammenhang wie bei der Frage ED 101. Laut Fragestellung ist $R_1$ 6-mal kleiner als $R_2$, also muss an ihm auch eine 6-mal kleinere Spannung gemessen werden können.

Dieser Zusammenhang in einer Formel dargestellt lautet nun:

$$\frac{ U_{ 1 } }{ U_{ 2 } } = \frac{ 1 }{ 6 }$$ $$U_{ 1 } = U_{ 2 } \cdot {\frac{ 1 }{ 6 }}$$ $$U_1 =\frac{U_2}{6}$$

ED103: Die Gesamtspannung $U$ an folgendem Spannungsteiler beträgt 9 V. Die Widerstände haben die Werte $R_1$ = 10 kOhm und $R_2$ = 20 kOhm. Wie groß ist die Teilspannung $U_2$?

Bei dieser Frage sind konkrete Widerstandswerte angegeben, die zur Ermittlung des Spannungsteilerverhältnisses dienen. $R_1$ verhält sich zu $R_2$ wie $\qty{10}{\kilo\ohm}$ zu $\qty{20}{\kilo\ohm}$, also $1$ zu $2$. $U_2$ muss deshalb doppelt so groß sein wie $U_1$. Es ist aber die Gesamtspannung $U_{ G }$ angegeben. Diese liegt an einem Gesamtwiderstand von 30 kΩ und wird deshalb im Verhältnis $30$ zu $20$ (oder $3$ zu $2$) bezogen auf $R_2$ aufgeteilt. An $R_2$ muss deshalb die Spannung 2/3 von $U_G$ gemessen werden können.

Selbstverständlich kann dieses Ergebnis auch mit der Formel aus der Formelsammlung berechnet werden:

$$\frac{ U_{ 2 } }{ U_{ G } } = \frac{ R_{ 2 } }{ R_{ 1 } + R_{ 2 } }$$

und diese dann nach $U_2$ umgestellt:

$$U_{ 2 } = \frac{ R_{ 2 } }{ R_{ 1 } + R_{ 2 } } \cdot U_{ G }$$

Weiter zum nächsten Abschnitt: Spannungsteiler II