Widerstand in Reihen- und Parallelschaltung (Klasse E)

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Wir stehen oft vor dem Problem, dass ein gewünschter Widerstandswert nicht in der sogenannten „Widerstands-Normreihe“ enthalten ist. Es könnte auch sein, dass ein Widerstand eine große Verlustleistung umsetzen muss, die in handelsüblichen Einzelwiderständen nicht möglich ist -- um nur zwei Beispiele zu nennen. Wir werden jetzt betrachten, wie wir durch Reihenschaltung oder Parallelschaltung von Widerständen andere Widerstandswerte erhalten können.

Alles, was wir wissen müssen, ist das Ohmsche Gesetz:

$U=R \cdot I$

(siehe Formelsammlung Seite 234 Mitte links – Stichwort: Ohmsches Gesetz)

Abbildung 76: Spannungsteiler
Wiederholung zum Widerstand
Schaltzeichen: siehe Abbildung 76
Formelzeichen: R
Benennung des Widerstandes: $\Omega$ (Ohm)
Größenordnungen
1 mΩ (Milliohm) = 1/1000 $\Omega$ = 0,001 $\Omega$ = 1 * 10-3 $\Omega$
1 kΩ ( Kiloohm) = 1/1000 000 $\Omega$ = 0,000 001 $\Omega$ = 1 * 10-6 $\Omega$
1 MΩ (Megaohm) = 1/1000 000 00 $\Omega$ = 0,000 000 001 $\Omega$ = 1 * 10-9 $\Omega$
Tabelle 9: Wiederholung zum Widerstand

Zur Erinnerung:

Vorsatz Abkürzung Wert
Pico p 10-12 = 0,000000000001
Nano n 10-9 = 0,000000001
Mikro µ 10-6 = 0,000001
Milli m 10-3 = 0,001
100 = 1
Kilo k 103 = 1000
Mega M 106 = 1000000
Giga G 109 = 1000000000
Tabelle 10: Einheitenvorsätze für Zehnerpotenzen

Das Bild zeigt zwei Widerstände $R_1$ und $R_2$, die hinter einander geschaltet werden. Sie vom gleichen Strom I durchflossen. An den Widerständen fallen dann die Spannungen

$U_1 = R_1 \cdot I$ und $U_2 = R_2 \cdot I$ ab.

Die Gesamtspannung $U_{ges}$ ist einfach die Summe dieser beiden Spannungen:

$U_{ges} = U_1 + U_2 = R_{ges} \cdot {I} = R_1 \cdot I + R_2 \cdot I$

Jetzt können wir den Widerstand berechnen, der zwischen den äußeren Klemmen zu sehen ist:

$R_{ges} = \dfrac{U_{ges}}{I} = R_1 + R_2$, weil sich auf beiden Seiten der Gleichung der Strom $I$ rauskürzt.

Das Ganze funktioniert auch bei mehr als zwei Widerständen:

$R_{ges} = R_1 + R_2 + R_3 + R_4 + ...$

(siehe Formelsammlung Seite 235 oben links – Stichwort: Widerstände in Reihenschaltung)

Abbildung : Dickschichtwiderstände mit je100 Ω in Reihenschaltung

Knobelaufgabe:

Um eine 50 Ω Dummy-Load für 400 W Belasbarkeit im Kurzwellenbereich zu bauen, könnten Widerstände dieser Art auf einem Kühlkörper montiert werden.

Die Belastbarkeit beträgt dann 50 W pro Widerstand.

Wie viele Widerstände sind notwendig und wie könnte die Schaltung aussehen?

(siehe auch Klasse A: Abschnitt Dummy-Load 2)

Abbildung : 13 Kohleschichtwiderstände mit je 2 W in Parallelschaltung
Abbildung : 6 dB Dämpfungsglied mit SMD-Widerständen in Reihen- und Parallelschaltung um eine Belastbarkeit von 2 W zu erreichen
Abbildung 68: 12 SMD Widerstände am Ende eines Koaxialkabels als Dummy Load bis 2 GHz verwendbar

Doch wie verhält es sich, wenn wir zwei Widerstände $R_1$ und $R_2$ parallel schalten?

Abbildung 69: In dieser Schaltung sind alle Spannungen und Ströme zu sehen.

Jetzt liegt an beiden Widerständen die selbe Spannung $U$ an, die in den Widerständen die Ströme

$I_1 = \dfrac{U}{R_1}$ und $I_2 = \dfrac{U}{R_2}$

fließen lässt.

Der im äußeren Stromkreis fließende Strom ist die Summe dieser beiden Sröme:

$I_{ges} = I_1 + I_2 = \dfrac{U}{R_1} + \dfrac{U}{R_2}$

Wir suchen wieder einen Gesamtwiderstand $R_{ges}$, für den dann gelten muss: $I_{ges}=\dfrac{U}{R_{ges}}$ und folglich:

$\dfrac{1}{R_{ges}} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}$

Der Kehrwert des Gesamtwiderstands ist also die Summe der Kehrwerte der Einzelwiderstände. Eine Konsequenz ist, dass man bei einer Parallelschaltung einer Reihe gleicher Widerstände einfach den Wert des einzelnen Widerstands durch die Anzahl der Widerstände teilt.

Bei der Reihenschaltung ist die Wert des Gesamtwiderstands immer größer als der größte Einzelwiderstand. Bei der Parallelschaltung ist der Gesamtwiderstand immer kleiner als der kleinste Einzelwiderstand.

Auch hier können wir die Berechnung für beliebig viele parallele Widerstände durchführen:

$\dfrac{1}{R_{ges}} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \dfrac{1}{R_3} + \dfrac{1}{R_4} + ...$

Den Ausdruck für zwei parallele Widerstände können wir nach den Regeln der Bruchrechnung auch schreiben als:

$R_{ges} = \dfrac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}$

Bei der Parallelschaltung ist der Gesamtwiderstand immer kleiner als der kleinste Einzelwiderstand.

ED104: Zwei Widerstände mit $R_1$ = 100 Ω und $R_2$ = 400 Ω sind parallel geschaltet. Wie groß ist der Gesamtwiderstand?
ED105: Zwei Widerstände mit $R_1$ = 50 Ω und $R_2$ = 200 Ω sind parallel geschaltet. Wie groß ist der Gesamtwiderstand?
ED106: Drei gleich große parallel geschaltete Widerstände haben einen Gesamtwiderstand von 1,7 kΩ. Welchen Wert hat jeder Einzelwiderstand?

Betrachten wir ein praktisches Beispiel. Für das Testen von Sendern verwendet man gern eine Dummy Load, einen Widerstand, der die abgegebene Leistung in Wärme umsetzt. Für die meisten Senderausgänge muss diese Last einen Widerstand von etwa 50 $\Omega$ darstellen. Um aber auch etwas höhere Leistungen vertragen zu können, schaltet man geeignete Widerstände parallel.

Nehmen wir 10 Widerstände von 470 $\Omega$ mit je 2 W Belastbarkeit und löten sie parallel vom Innenleiter einer Koax-Buchse nach Masse, so ist der Gesamtwiderstand

$\dfrac{1}{R_{ges}} = \dfrac{10}{470\ \Omega}$ bzw.

$R_{ges}= \dfrac{470\ \Omega}{10} = 47\ \Omega$

was genau genug ist.

Genau darauf achten, dass die in der Rechnung verwendeten Widerstände immer die selben Einheiten haben. Ich empfehle immer, möglichst auf die Grundeinheit ($\Omega$) zu gehen. Schalten wir z.B. einen $1\ \text{k}\Omega$- und einen $10\ \Omega$-Widerstand in Reihe, dann rechnen wir $1000\ \Omega + 10\ \Omega = 1010\ \Omega$.

Einige der Aufgaben enthalten Widerstandsnetzwerke, in denen sowohl eine Reihen- als auch eine Parallelschaltung vorkommt. Da gehen wir so vor, dass wir erst z.B. die Parallelschaltung in einen äquivalenten Widerstand umwandeln, den wir dann mit dem in Reihe geschalteten dritten Widerstand zusammenfassen. Oder halt umgekehrt, je nach dem, was sich anhand des Schaltbildes anbietet.

Ein wichtiges Lösungsverfahren ist die „Methode des scharfen Hinsehens“ ... da gibt es zum Beispiel eine Schaltung, die einen Widerstand $R_1$ in Reihe mit zwei parallel geschalteten Widerständen $R_2$ und $R_3$ hat. Die Werte sind $R_1 = 1\ k\Omega$, $R_2 = 2000\ \Omega$ und $R_3 = 2\ k\Omega$. Nun sind aber $2\ k\Omega = 2000\ \Omega$. Die Paralellschaltung von $R_2$ und $R_3$ ergibt einen Widerstand, der halb so groß ist: $1000\ \Omega = 1\ k\Omega$. Den schalten wir in Reihe mit $R_1$ und erhalten das Ergebnis: $R_{ges}=2\ k\Omega$.

Der Taschenrechner kann stecken bleiben.

ED108: Wie groß ist der Gesamtwiderstand der Schaltung? Gegeben: $R_1$ = 500 Ω, $R_2$ = 500 Ω und $R_3$ = 1 kΩ
ED109: Wie groß ist der Gesamtwiderstand der Schaltung? Gegeben: $R_1$ = 500 Ω, $R_2$ = 1,5 kΩ und $R_3$ = 2 kΩ
ED110: Wie groß ist der Gesamtwiderstand der Schaltung? Gegeben: $R_1$ = 500 Ω, $R_2$ = 1000 Ω und $R_3$ = 1 kΩ
ED111: Wie groß ist der Gesamtwiderstand der Schaltung? Gegeben: $R_1$ = 1 kΩ, $R_2$ = 2000 Ω und $R_3$ = 2 kΩ
ED112: Wie groß ist der Gesamtwiderstand dieser Schaltung, wenn $R_1$ = 1 kΩ, $R_2$ = 3 kΩ und $R_3$ = 1500 Ω betragen?
ED113: Wie groß ist der Gesamtwiderstand dieser Schaltung, wenn $R_1$ = 10 kΩ, $R_2$ = 2,5 kΩ, $R_3$ = 500 Ω und $R_4$ = 600 Ω betragen?

Bei Leistungsbetrachtungen geht man am Besten von dem bekannten Ausdruck für die Leistung aus:

$P = U \cdot I$

Bei der Reihenschaltung von z.B. drei gleichen Widerständen fließt durch alle Widerstände der gleiche Strom, aber an jedem einzelnen Widerstand fällt nur ein Drittel der äußeren Spannung ab. Bei der Parallelschaltung liegt an allen Widerständen die selbe Spannung, aber der Strom teil sich auf drei Pfade auf. In beiden Fällen verträgt also die Schaltung das dreifache der Leistung des einzelnen Widerstandes.

ED107: Welche Belastbarkeit kann die Zusammenschaltung von drei gleich großen Widerständen mit einer Einzelbelastbarkeit von je 1 W erreichen, wenn alle 3 Widerstände entweder parallel oder in Reihe geschaltet werden?

Lösung der Knobelaufgabe:

Abbildung 70: 8 Dickschichtwiderstände in Schaltungsvariante 1

Variante 1: ((100 Ω parallel zu 100 Ω) + (100 Ω parallel zu 100 Ω)) parallel zu ((100 Ω parallel zu 100 Ω) + (100 Ω parallel zu 10 Ω))

(50 Ω + 50 Ω) parallel zu (50 Ω + 50 Ω) = 50 Ω

Abbildung 71: 8 Dickschichtwiderstände in Schaltungsvariante 2

Variante 2: (100 Ω parallel zu 100 Ω parallel zu 100 Ω parallel zu 100 Ω) + (100 Ω parallel zu 100 Ω parallel zu 100 Ω parallel zu 100 Ω)

25 Ω + 25 Ω = 50 Ω

Abbildung 72: 8 Dickschichtwiderstände in Schaltungsvariante 3

Variante 3: ((100 Ω + 100 Ω) parallel zu (100 Ω + 100 Ω)) parallel zu ((100 Ω + 100 Ω) parallel zu (100 Ω + 100 Ω))

(200 Ω parallel zu 200 Ω) parallel zu (200 Ω parallel zu 200 Ω) = (100 Ω parallel zu 100 Ω) = 50 Ω

Lösungshilfe:

ED 104: 80 Ω

ED 105: 40 Ω

ED 106: 5,1 kΩ

ED 107: 3 W

ED 108: 500 Ω

ED 109: 1 kΩ

ED 110: 1 kΩ

ED 111: 2 kΩ

ED 112: 2 kΩ

ED 113: 1 kΩ

Formelsammlung auf Seite 234
$U=R \cdot I$
$I = \dfrac{U}{R}$
Formelsammlung auf Seite 235
$R_{ges} = R_1 + R_2 + R_3 + R_4 + ...$
$\dfrac{1}{R_{ges}} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \dfrac{1}{R_3} + \dfrac{1}{R_4} + ...$
$R_{ges} = \dfrac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}$
Tabelle 11: Zusammenfassung

Zusammenfassung:

Formelsammlung auf Seite 234

$U=R \cdot I$

$I = \dfrac{U}{R}$

Formelsammlung auf Seite 235

$R_{ges} = R_1 + R_2 + R_3 + R_4 + ...$

$\dfrac{1}{R_{ges}} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \dfrac{1}{R_3} + \dfrac{1}{R_4} + ...$

$R_{ges} = \dfrac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}$