Bereits in der Ausbildung zur Klasse N haben wir den Zusammenhang zwischen der Frequenz (f) und der Wellenlänge ($\lambda$) kennengelernt. Damals wurden dazu zwei speziell zugeschnittene Größengleichungen aus der Formelsammlung für die Prüfung angegeben.
$$f[[\text{MHz}]]= \dfrac{300}{\lambda[[\text{m}]]}$$ $$\lambda[[\text{m}]] = \dfrac{300}{f[[\text{MHz}]]}$$Gleichungen, bei denen bereits angegeben wird, in welcher Einheit die Werte zu stehen haben, nennt man zugeschnittene Größengleichungen.
In Wirklichkeit ist das aber nur eine Gleichung, die jeweils, im ersten Fall, nach der Frequenz und im zweiten Fall nach der Wellenlänge umgestellt wurde.
In technischen Rechnungen müssen wir immer wieder Gleichungen so umstellen, dass die gesuchte Größe allein auf einer Seite steht. Dazu wenden wir die nötigen mathematischen Operationen (Multiplizieren, Dividieren, Addieren, Subtrahieren, ...) auf beide der Seiten der Gleichung gleichzeitig an. Mit etwas Übung ist das viel einfacher, als sich alle nötigen Formen einer Beziehung separat zu merken. In der Klasse E und auch in der Klasse A ist dies sogar zwingend erforderlich, da die Gleichungen in der Formelsammlung nur noch in ihrer Grundform angegeben werden.
In Grundeinheiten (s, m) lautet der Zusammenhang zwischen Wellenlänge und Frequenz im Freiraum:
$$\lambda = \dfrac{c_0}{f}$$Dabei ist $c_0$ die Ausbreitungsgeschwindigkeit von elektromagnetischen Wellen im Vakuum („Lichtgeschwindigkeit“), $c_o \approx 300.000.000 \ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$
Wir betrachten den Zusammenhang zwischen Frequenz und Wellenlänge hier in der abstrakteren Form:
$$\lambda = \dfrac{c_0}{f}$$Jetzt wollen wir die Frequenz bestimmen, die einer Wellenlänge von 2,069 m entspricht.
Um dies zu erreichen, multiplizieren wir zunächst beide Seiten der Gleichung mit der Frequenz.
$$\lambda = \dfrac{c_0}{f} \quad\quad\quad | \cdot f$$Dies wird durch „$|~\cdot f$“ veranschaulicht, wobei der senkrechte Strich bedeutet, dass die folgende Operation auf beiden Seiten durchgeführt wird.
So entsteht eine neue Gleichung:
$$\lambda\cdot f = \dfrac{c_0 \cdot f}{f}$$wobei sich auf der rechten Seite die Frequenz herauskürzt (denn $f$ geteilt durch $f$ ergibt 1):
$$\lambda \cdot f = c_0$$Jetzt steht schon mal die Frequenz auf der linken Seite der Gleichung, wo wir sie hinhaben wollen. Als Nächstes dividieren wir auf beiden Seiten durch die Wellenlänge:
$$\lambda \cdot f = c_0 \quad\quad\quad |: \lambda$$Somit ergibt sich:
$$\frac{\lambda\cdot f}{\lambda} = \frac{c_0}{\lambda}$$Auf der linken Seite kürzt sich das Lambda wieder heraus:
$$f = \dfrac{c_0}{\lambda}$$Dies ist die gesuchte Beziehung. Wir setzen die Zahlenwerte ein:
$$f = \dfrac{\qty{300.000.000}{\meter\per\second}}{\qty{2,069}{\meter}} = \dfrac{300.000.000}{\qty{2,069}{\second}} = \qty{144.997.583}{\hertz} \approx \qty{145}{\mega\hertz} $$Dabei haben wir berücksichtigt, dass $\dfrac{1}{\text{s}} = 1\ \text{Hz}$ ist.
Wir können Formeln nun mithilfe von Multiplikation und Division umstellen. In der Klasse E begegnen uns weitere Formeln, bei denen auch Addition und Subtraktion, Potenzen und Wurzeln erforderlich sind. In der Klasse A kommen schließlich sogar Logarithmen hinzu. Keine Angst, an den jeweiligen Stellen werden wir genau erklären, wie diese Formeln Schritt für Schritt umgestellt werden.
