In technischen Rechnungen müssen wir immer wieder Gleichungen so umstellen, dass die gesuchte Größe allein auf einer Seite steht. Dazu wenden wir die nötigen mathematischen Operationen (Multiplizieren, Dividieren, Addieren, Subtrahieren, ...) auf beide der Seiten der Gleichung gleichzeitig an. Mit etwas Übung ist das viel einfacher, als sich alle nötigen Formen einer Beziehung separat zu merken.
Das wollen wir an einem Beispiel üben.
Bereits in der Ausbildung zur Klasse N hatten wir den Zusammenhang zwischen Frequenz (Symbol f) und Wellenlänge (Symbol $\lambda$) kennengelernt. Dort wurden zwei Gleichungen angegeben:
$f[\text{MHz}]= \dfrac{300}{\lambda[\text{m}]}$
$\lambda[\text{m}] = \dfrac{300}{f[\text{MHz}]}$
In Wirklichkeit ist das aber nur eine Gleichung, die jeweils, im ersten Fall, nach der Frequenz und im zweiten Fall nach der Wellenlänge umgestellt wurde.
Gleichungen, bei denen bereits angegeben wird, in welcher Einheit die Werte zu stehen haben, nennt man zugeschnittene Größengleichungen. In Grundeinheiten (s
$\lambda = \dfrac{c_0}{f}$
Dabei ist $c_0$ die Ausbreitungsgeschwindigkeit von elektromagnetischen Wellen im Vakuum („Lichtgeschwindigkeit“), $c_o \approx 300.000.000 \ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$
Wir betrachten den Zusammenhang zwischen Frequenz und Wellenlänge hier in der abstrakteren Form (siehe Seitenspalte):
$\lambda = \dfrac{c_0}{f}$
Jetzt wollen wir die Frequenz bestimmen, die einer Wellenlänge von
Dazu multiplizieren wir zunächst beide Seiten der Gleichung mit der Frequenz, wobei sich auf der rechten Seite die Frequenz herauskürzt:
$\lambda \cdot f = \dfrac{c_0}{f} \cdot f = c_0$
Jetzt steht schon mal die Frequenz auf der linken Seite der Gleichung, wo wir sie hinhaben wollen. Als Nächstes dividieren wir durch die Wellenlänge:
$f = \dfrac{c_0}{\lambda}$
Dies ist die gesuchte Beziehung. Wir setzen die Zahlenwerte ein:
$f = \dfrac{300.000.000\ \text{m/s}}{2,069\ \text{m}} = \dfrac{300.000.000}{2,069} = 144.997.583\ Hz$
Dabei haben wir berücksichtigt, dass
$\dfrac{1}{\text{s}} = 1\ \text{Hz}$
ist.
Den Umgang mit den großen Zahlen können wir uns ersparen, wenn wir den Bruch gleich durch eine Million teilen und dann das Ergebnis in MHz erhalten:
$f = \dfrac{300}{2,069} = 144{,}998\ \text{MHz}$
... wobei wir wieder bei der ursprünglichen zugeschnittenen Größengleichung sind.
Wir können unsere neu gewonnenen Kenntnisse auch gleich auf die zugeschnittene Größengleichung anwenden:
$\lambda[invalid macro: m] = \dfrac{300}{f[\text{MHz}]}$
Wir multiplizieren beide Seiten mit f[invalid macro: MHz]:
$\lambda \cdot f[\text{MHz}] = 300$
und dividieren durch $\lambda[{\text{m}}]$:
$f[\text{MHz}] = \dfrac{300}{\lambda[\text{m}]}$
$f[\text{MHz}] = \dfrac{300}{2{,}069} = 144{,}998$
