Leistung II (Klasse E)

In der vorstehenden Frage geht es um den Begriff der Spitzenleistung eines Senders, auch als PEP für peak envelope power bezeichnet.

Die Frage lässt sich recht gut nach dem „Ausschlussprinzip“ beantworten. Zunächst einmal hat die Spitzenleistung des Senders nichts mit dem Antennengewinn zu tun, das wäre die Strahlungsleistung, nach der hier aber nicht gefragt ist. Dann ist die Spitzenleistung eben keine „mittlere Leistung“, was wieder eine Antwortmöglichkeit ausschließt. Ob man die Verluste von Anpassnetzwerken o.ä. mit einbezieht, ist eine Frage der „Messebene“. Uns interessiert aber in der Regel die Leistung, die der Sender an die Antenne abgibt, da sind dann die Verluste mit drin.

Allerdings beeinflusst die Lastimpedanz den Leistungsverlauf, weshalb die richtige Antwort auf den reellen Abschlusswiderstand abhebt, also eine Lastimpedanz, die keine Blindanteile enthält.

Im Gegensatz zu der ersten Frage geht es hier nicht um die Spitzenleistung, sondern um die mittlere Leistung. Sie ist von der Hüllkurve unabhängig, weil die in ihrem zeitlichen Verlauf gemessene Leistung über einen Zeitraum gemittelt wird, der lang ist gegenüber der Periode der niedrigsten Modulationsfrequenz. Mit dieser Überlegung kann man die korrekte Antwort sehr einfach identifizieren.

Die aus der Gleichspannungstechnik bekannten Beziehungen zwischen Leistung, Strom und Spannung gelten auch bei Wechselstrom, allerdings müssen wir berücksichtigen, dass wegen des zeitlich variablen Verlaufs eine andere Wirkleistung erzeugt wid. Beispiel: ein Wechselstrom mit einem Spitzenwert von 1 A erzeugt in einem Widerstand von 1 Ω weniger Wärme als ein Gleichstrom von 1 A. Wir müssen mit den Effektivwerten von Strom und Spannung arbeiten. Wenn $\hat{U}$, $\hat{I}$ die Spitzenwerte von Strom und Spannung sind, dann gilt bei sinusförmigen Signalen:

$I_{eff}=\dfrac{\hat{I}}{\sqrt{2}} \approx 0,707 \cdot \hat{I}$

und analog für die Spannung:

$U_{eff}=\dfrac{\hat{U}}{\sqrt{2}} \approx 0,707 \cdot \hat{U}$

Zur Beantwortung benötigen wir die Zusammenhänge

$P=U \cdot I$, $U=R \cdot I \rightarrow I = \dfrac{U}{R}$.

Setzen wir den zweiten Ausdruck in den ersten ein, so ergibt sich $P=\dfrac{U^2}{R}$. Diese Gleichung lösen wir nach U auf, indem wir beide Seiten mit R multiplizieren und dann die Wurzel ziehen:

$U = \sqrt{P \cdot R}$

Hier sind Strom und Spannung jeweils in Abhängigkeit von Leistung und Widerstand aufgeführt, wobei sich eine ganze Reihe von Fehlern „eingeschlichen“ haben.

Den korrekten Zusammenhang für die Spannung hatten wir gerade schon bestimmt:

$U = \sqrt{P \cdot R}$

Für den Strom setzen wir an: $P = U \cdot I$ und $U = I \cdot R$. Die zweite Gleichung wird in die erste eingesetzt:

$P = I^2 \cdot R$

Wir lösen nach I auf, indem wir beide Seiten durch R teilen und dann die Wurzel ziehen:

$I = \sqrt{\dfrac{P}{R}}$

Hier ist der Widerstand gesucht, wenn wir die Leistung und jeweils den Strom oder die Spannung kennen.

Wir kennen bereits:

$P=\dfrac{U^2}{R}$

Wir lösen nach R auf, indem wir beide Seiten der Gleichung mit R multiplizieren und dann durch P teilen:

$R = \dfrac{U^2}{P}$

Andererseits ist $P = I^2 \cdot R$. Wir teilen beide Seiten durch $I^2$ und erhalten den gesuchten Ausdruck:

$R = \dfrac{P}{I^2}$

Die nächste Frage behandelt eine ganz praktische messtechnische Aufgabe. Wir können nämlich die abgegebene Leistung auch mit einem Oszilloskop bestimmen, mit dem wir den Spitzenwert der Spannung erhalten ($\widehat{U}$). Wie wir wissen, ist dann der Effektivwert $U_{eff} \approx 0,707 \cdot \widehat{U}$. Dieser Effektivwert soll hier 100 V betragen.

Der Abschlusswiderstand soll $50\ \Omega$ betragen (reiner Wirkwiderstand). Gesucht ist die Leistung an der Last.

$P = \dfrac{U^2}{R} = \dfrac{10000\ \text{V}^2}{50\ \Omega} = 200\ \text{W}$

Die abgegebene Leistung kann auch durch eine Strommessung geschehen.

Wir kennen bereits den Zusammenhang $P = I^2 \cdot R$. Wir setzen ein:

$P = 4 \text{A}^2 \cdot 50\ \Omega = 200 \text{W}$

Zur Berechnung der Leistung, die in einem 100 $\Omega$-Widerstand umgesetzt wird, an dem eine Spannung von 10 V abfällt, benutzen wir wieder

$P = \dfrac{U^2}{R} = \dfrac{100\ \text{V}^2}{100\ \Omega} = 1\ \text{W}$

Die Beantwortung dieser Frage bedarf eines gewissen Nachdenkens. Es ist sowohl eine maximale Spannungsfestigkeit (700 V) als auch eine Maximalleistung (1 W) angegeben. Es fragt sich nur, welche Grenze zuerst erreicht wird, wenn wir die Spannung erhöhen.

Berechnen wir zunächst die Spannung, die am Widerstand (10 k$\Omega$) anliegen muss, damit gerade die zulässige Leistung erreicht wird. Dazu rechnen wir (Herleitung weiter oben):

$U = \sqrt{P \cdot R} = \sqrt{1\ \text{W} \cdot 10^4\ \Omega} = 100\ \text{V}$

Das ist dann auch schon die gesuchte maximale Gleichspannung!

Hier ist der Rechenweg derselbe wie in der Aufgabe davor, nur die Zahlenwerte sind anders:

$U = \sqrt{P \cdot R} = \sqrt{6\ \text{W}^2 \cdot 10^5\ \Omega} = 774,6\ \text{V} \approx 775\ \text{V}$

Wenn der Widerstandswert und die maximale Belastbarkeit gegeben sind und nach dem Maximalstrom gefragt wird, verwenden wir die Beziehung:

$P=I^2 \cdot R \rightarrow I = \sqrt{\dfrac{P}{R} = \sqrt{\dfrac{23\ \text{W}}{120\ \Omega} = 0,4378 \text{A} \approx 438\ \text{mA}$

In dieser Frage wird, wie schon kurz besprochen, ein Oszilloskop verwendet, um die Spannung an der Last zu messen. Diese Spannung beträgt $U_{SS} = 25\ \text{V}$ von Spitze zu Spitze. Wir berechnen zunächst den Effektivwert der Spannung:

$U_{eff} = \dfrac {1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{U_{SS}}{2} = 8,84\ \text{V}$

Dann ist der Effektivstrom (Ohmsches Gesetz):

$I_{eff} = \dfrac{U_{eff}}{R} = \dfrac{8,84\ \text{V}}{1000\ \Omega} = 8,84\ \text{mA} \approx 8,8\ \text{mA}$

Die Antwort zu dieser Frage schließlich lässt sich sehr gut im Kopf rechnen. Hier werden 11 gleiche Widerstände parallel geschaltet, das heißt, der Strom durch jeden einzelnen Widerstand ist 1/11 des Gesamtstroms. Also ist die Leistung auch nur 1/11 der Gesamtleistung.

Also ist die zulässige Gesamtleistung $11 \cdot 5\ \text{W} = 55\ \text{W}$.