Kondensator II

In der Klasse E haben wir bereits die Kapazität eines Kondensators sowie sein qualitatives Verhalten bei Wechselspannung kennengelernt: Ein Kondensator verhält sich wie ein frequenzabhängiger Widerstand. Dabei haben wir zunächst festgehalten, dass der kapazitive Blindwiderstand umgekehrt proportional zur Frequenz ist. Verringert man die Frequenz, so wird der Blindwiderstand $X_C$ größer. Erhöht man hingegen die Frequenz, nimmt der Widerstand entsprechend ab. Der Sachverhalt eines Kondensators bei Wechselspannung lässt sich durch die Formel für den kapazitiven Blindwiderstand $X_C$ beschreiben:

$$|X_C| = \frac{1}{\omega\cdot C} = \frac{1}{2\pi\cdot f \cdot C}$$

In der Klasse A wollen wir dieses Verhalten nun genauer betrachten und auch erfahren, warum dieser Widerstand als „Blindwiderstand“ bezeichnet wird. Zunächst müssen wir uns allerdings noch merken, dass der Blindwiderstand eines Kondensators auch negativ ist, um die folgende Frage lösen zu können:

AC102: Welches Vorzeichen hat der Blindwiderstand eines idealen Kondensators und von welchen physikalischen Größen hängt er ab? Der Blindwiderstand ist ...

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Warum ist der kapazitive Blindwiderstand negativ? Der Hintergrund liegt in der komplexen Wechselstromrechnung, die für die Amateurfunkprüfung nicht zwingend erforderlich ist.

Für Leserinnen und Leser mit Kenntnissen in komplexen Zahlen sei jedoch angemerkt, dass die korrekte Darstellung des kapazitiven Blindwiderstands eigentlich

$$X_C = \frac{1}{j\omega C}$$

lautet. Dabei steht $j$ für die imaginäre Einheit $\sqrt{-1}$.

Erweitert man diesen Ausdruck mit $j$, ergibt sich:

$$X_C = \frac{1}{j\omega C} = \frac{1 \cdot j}{j\omega C \cdot j} =\frac{-j}{\omega C}$$

Daraus wird ersichtlich, dass der kapazitive Blindwiderstand nicht nur negativ, sondern auch komplex ist. Das negative Vorzeichen beschreibt dabei die Phasenlage zwischen Strom und Spannung am Kondensator welche wir in diesem Kapitel noch genauer betrachten.

Moderne, kostengünstige Messgeräte, die Funkamateure heutzutage gerne einsetzen, sind Antennenanalyzer oder vektorielle Network Analyzer (VNA). Sie messen die Veränderung des Blindwiderstandes $X_C$ in Abhängigkeit der Frequenz und können das Messergebnis auch grafisch darstellen. Abbildung A-3.2.1 zeigt die Veränderung des kapazitiven Blindwiderstandes (blaue Linie) eines $\qty{1500}{\pico\farad}$ Styroflexkondensators im Frequenzbereich von $\qtyrange{1}{4,5}{\mega\hertz}$.

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Kurzbeschreibung: Bildschirmfoto eines Messdiagramms, das Scheinwiderstand (blaue Kurve) und Phasenwinkel (rote Kurve) zwischen etwa 0,9 und 5 MHz zeigt; die blaue Kurve fällt leicht, die rote verläuft nahe −90°.

Detaillierte Beschreibung:
- Titel oben: „Scheinwiderstand & Phasenwinkel als Funktion der Frequenz“.
- Linke y-Achse: „|Z| / Ohm“ mit Skala von 1 bis 10000; rechte y-Achse: „Phi / Grad“ von −90° bis +90°.
- x-Achse: Frequenz von „900,000k“ bis „5,000M“.
- Blaue Kurve (Impedanzbetrag) verläuft abnehmend von grob um 70 Ohm bei ~1 MHz auf etwa 40–50 Ohm bei ~5 MHz; Dreiecksmarker mit den Ziffern 1–4 liegen auf der Kurve bei ungefähr 1, 2, 3 und 4 MHz.
- Rote Kurve (Phasenwinkel) verläuft dicht über der −90°-Linie und steigt leicht an (Markersymbole 1–4 ebenfalls entlang der Kurve).
- Unter dem Diagramm stehen Markerfelder mit Messwerten:
- Marker 1: Frequenz 1,0010 MHz; Reell 0,8; Blind 102,6; Phase −89,5°; SWR 307,8.
- Marker 2: Frequenz 2,0038 MHz; Reell 1,7; Blind −50,1; Phase −88,0°; SWR 58,4.
- Marker 3: Frequenz 3,0051 MHz; Reell 1,8; Blind −31,4; Phase −86,7°; SWR 38,7.
- Marker 4: Frequenz 4,0010 MHz; Reell 1,7; Blind −22,2; Phase −85,6°; SWR 35,2.
- Bedien- und Statuszeile unten: Eingabefelder „fStart 900,000k“ und „fStop 5,000M“, Länge 0,00 m, Typ „RG142“, Batteriesymbol mit „12,22 V“ (grüner Balken), „Memory Off“, sowie Schaltflächen mit Amateurfunkbändern (z. B. 2 m, 6 m, 10 m, 12 m, 15 m, 17 m, 20 m, 40 m, 80 m, 160 m).
- Hintergrund ist ein beiges Gitternetz mit Haupt- und Hilfslinien; Achsen und Kurven sind farblich (blau/rot) deutlich voneinander abgesetzt. — Abbildung A-3.2.1: Kapazitiver Blindwiderstand $X_C$ (Blaue Kurve) und Phasenlage (Rote Kurve) eines $\qty{1500}{\pico\farad}$ Styroflexkondensators im Frequenzbereich von $\qtyrange{1}{4,5}{\mega\hertz}$.

Versuche nun die folgenden Fragen durch die obige Formel zu beantworten. Achte dabei besonders auf die Einheiten bzw. die Zehnerpotenzen, damit du die richtigen Ergebnisse erhältst.

AC104: Wie groß ist der Betrag des kapazitiven Blindwiderstands eines Kondensators mit 10 pF bei einer Frequenz von 100 MHz?

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AC105: Wie groß ist der Betrag des kapazitiven Blindwiderstands eines Kondensators mit 50 pF bei einer Frequenz von 145 MHz ?

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AC106: Wie groß ist der Betrag des kapazitiven Blindwiderstands eines Kondensators mit 100 pF bei einer Frequenz von 100 MHz?

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AC107: Wie groß ist der Betrag des kapazitiven Blindwiderstands eines Kondensators mit 100 pF bei einer Frequenz von 435 MHz ?

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Bei der folgenden Frage ist die Kapazität gesucht. Versuche hierfür die Formel umzustellen, damit du die Kapazität $C$ berechnen kannst:

AC108: An einem unbekannten Kondensator liegt eine Wechselspannung mit 16 V und 50 Hz. Es wird ein Strom von 32 mA gemessen. Welche Kapazität hat der Kondensator?

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Führt man eine gleichzeitige Strom- und Spannungsmessung an einem Kondensator mit einem Zweikanal-Oszilloskop durch (vgl. A-3.2.2), zeigt sich ein zunächst überraschendes Ergebnis: Zwischen Strom und Spannung besteht eine Phasenverschiebung von $\qty{90}{\degree}$, wobei der Strom der Spannung vorausläuft.

Das bedeutet, dass der Strom bereits seinen Maximalwert erreicht, während die Spannung noch ansteigt. Dieses charakteristische Verhalten ist eine grundlegende Eigenschaft von Kondensatoren und spielt eine wichtige Rolle in der Wechselstromtechnik, insbesondere bei Filtern und Schwingkreisen. Die rote Linie in Abbildung A-3.2.1 stellt die Phasenlage des kapazitiven Blindwiderstandes bei nahezu konstanten $\qty{-90}{\degree}$ dar.

AC101: Ein verlustloser Kondensator wird an eine Wechselspannungsquelle angeschlossen. Welche Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom stellt sich ein?

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1. Zusammenfassung: Ein analoges Oszilloskop zeigt zwei phasenverschobene Sinuskurven auf blauem Raster, daneben sind zahlreiche Drehknöpfe und Tasten der Frontplatte sichtbar.

2. Details: Das Gerät ist frontal zu sehen, links der rechteckige CRT-Bildschirm mit feinem, hellblauem Gitter. Auf dem Schirm verlaufen zwei hellblaue Sinuskurven; die obere ist mit „I“ beschriftet und liegt zeitlich vor der unteren, die mit „U“ markiert ist. Eine horizontale Referenzlinie mit Pfeil nach rechts ist mit „t“ gekennzeichnet. Am unteren Bildschirmrand steht der Text „I eilt U um 90 Grad voraus!“. Rechts vom Bildschirm befindet sich die Bedieneinheit mit einem Schalter „POWER on/off“, Drehknöpfen „X-POS.“ und „Y-POS. I“, Tastenfeldern und einem Bereich „CH. I“. Unten rechts ist eine Eingangsbuchse mit der Beschriftung „INPUT 1 MΩ 25 pF“ zu sehen, unten links mehrere Regler wie „INTEN“, „FOCUS“, „MAG.“, „CAL 0.2V“ sowie ein Feld „COMPONENT TESTER“. Das Gehäuse ist hellgrau, die Bedienelemente sind überwiegend in Grau- und Grüntönen. — Abbildung A-3.2.2: Phasenverschiebung am Kondensator zwischen Spannung und Strom

Merkhilfe: Beim Kondensatooor eilt der Strom vooor!

Die Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom beträgt also $\qty{90}{\degree}$, wobei der Strom (rot) der Spannung (blau) voreilt, wie in Abbildung A-3.2.3 gezeigt. Betrachtet man die momentane Leistung mit $P = U \cdot I$, so ergibt sich eine Leistungskurve (grün), die symmetrisch um die Nulllinie schwankt, ebenfalls dargestellt in Abbildung A-3.2.3.

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Kurzfassung: Diagramm mit drei sinusförmigen Kurven über der Zeit t; eine blaue, eine orange und eine grüne Kurve, zu denen rechts oben eine Legende mit den Beschriftungen „P“, „I“ und „U“ gehört; die grüne Kurve ist zusätzlich halbtransparent schattiert.

Detailbeschreibung: Ein kartesisches Koordinatensystem zeigt eine horizontale Achse mit Pfeil nach rechts und der Beschriftung „t“ sowie eine vertikale Achse mit Pfeil nach oben; es gibt kurze, unbeschriftete Teilstriche, aber keine Zahlenwerte. Rechts oben steht eine Legende: ein kurzer grüner Linienzug mit „P“, ein orangefarbener Linienzug mit „I“ und ein blauer Linienzug mit „U“. Drei glatte Sinuskurven verlaufen über die Breite: Die blaue Kurve hat die größte Amplitude und die längste Wellenlänge; sie startet links nahe bei Null und steigt an. Die orange Kurve hat etwas kleinere Amplitude und eine ähnliche Wellenlänge wie die blaue, ist jedoch phasenverschoben; links befindet sie sich über der Nulllinie und fällt ab, während die blaue steigt. Die grüne Kurve hat die kleinste Amplitude und eine kürzere Wellenlänge (sie schwingt häufiger als die blaue und orange Kurve); die Fläche zwischen der grünen Kurve und der horizontalen Nulllinie ist halbtransparent grün schattiert, sowohl oberhalb als auch unterhalb der Nulllinie, entsprechend dem Vorzeichen der Kurve. — Abbildung A-3.2.3: Das Produkt von $U \cdot I$ ergibt die grüne Leistungskurve

Der Mittelwert dieser Leistung ist Null, das heißt, es wird keine Wirkleistung umgesetzt. Stattdessen wird Energie periodisch im elektrischen Feld des Kondensators gespeichert und wieder an die Quelle zurückgegeben. Man spricht daher bei einem ideal verlustfreien Kondensator von Blindleistung und einem Blindwiderstand.

Nur ein ohmscher Widerstand nimmt Wirkleistung auf, da bei ihm Spannung und Strom in Phase sind, also keine Phasenverschiebung vorliegt. Das bedeutet, dass Spannung und Strom gleichzeitig positiv oder negativ sind, sodass die momentane Leistung $P = U \cdot I$ stets positiv ist.

Ein idealer Blindwiderstand hingegen nimmt keine Wirkleistung auf und wird daher im Idealfall auch nicht warm. Stattdessen wird Energie periodisch gespeichert und wieder an die Quelle zurückgegeben.

AC111: An einem Kondensator mit einer Kapazität von 1 μF wird ein NF-Signal mit 10 kHz und 12 V$_{\textrm{eff}}$ angelegt. Wie groß ist die aufgenommene Wirkleistung im eingeschwungenen Zustand?

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AC103: Welcher der folgenden Widerstände hat keine Wärmeverluste?

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Erwärmt sich ein Kondensator in Hochfrequenzanwendungen dennoch, so ist dies ein Hinweis auf Verluste im Bauteil. Ein idealer Kondensator würde keine Energie in Wärme umsetzen, reale Kondensatoren besitzen jedoch parasitäre Eigenschaften, die zu Verlusten führen.

Diese Verluste lassen sich im Ersatzschaltbild erkennen: Der Widerstand $R_\text{ESR}$ (Equivalent Series Resistance) beschreibt die ohmschen Verluste im Kondensator, während $R_\text{Isolator}$ die Verluste im Dielektrikum modelliert. Zusätzlich beeinflusst die parasitäre Induktivität $L_\text{ESL}$ das Verhalten bei hohen Frequenzen.

Zur technischen Bewertung dieser Verluste verwendet man die Güte $Q$ (Quality Factor) sowie den Verlustfaktor $\tan\delta$. Beide Größen beschreiben, wie stark ein realer Kondensator vom idealen Verhalten abweicht.

Zwischen beiden Größen besteht ein direkter Zusammenhang:

$$Q = \frac{1}{\tan\delta}$$

Merke: Hohe Verluste führen zu einer niedrigen Güte $Q$ und damit zu einem großen Verlustfaktor $\tan\delta$. Je höher die Frequenz, desto stärker wirken sich diese Verluste aus, da der Blindwiderstand $X_C$ mit steigender Frequenz abnimmt, während die parasitären Widerstände konstant bleiben.

TODO — Abbildung A-3.2.4: Ersatzschaltbild eines realen Kondensators mit parasitären Verlusten.

AC109: Kommt es in einem von Wechselstrom durchflossenen realen Kondensator zu Verlusten?

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AC110: Neben dem kapazitiven Blindwiderstand treten im von Wechselstrom durchflossenen Kondensator auch Verluste auf, die rechnerisch in einem parallelgeschalteten Verlustwiderstand zusammengefasst werden können. Die Kondensatorverluste werden oft durch ...

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Durch die komplexe Wechselstromrechnung kann man den Blindwiderstand $X_C$ mit den parasitären Verlusten $R$ in Form eines Zeigerdiagramms darstellen:

Der Tangens beschreibt ja das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete, also in diesem Fall die Verluste $R$ im Verhältnis zum verlustfreien kapazitiven Blindwiderstand $X_C$.

$$\tan\delta = \frac{R}{|X_C|}$$

Je größer die Verluste, desto größer ist der Winkel $\delta$ und damit auch der Verlustfaktor $\tan\delta$. Ein idealer Kondensator würde einen Winkel von $\delta = 0$ Grad aufweisen, da er keine Verluste hat.

Durch diese komplexe bzw. geometrische Addition ergibt sich die Größe $Z$. Sie wird als Impedanz bezeichnet und beschreibt den komplexen Gesamtwiderstand eines Bauteils. Der Betrag der Impedanz $|Z|$ entspricht dem sogenannten Scheinwiderstand.

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