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Widerstandsnetzwerke II

Die folgenden Aufgaben erfordern mehrere Rechenschritte bis zur Lösung. Dazu zerlegt man die Aufgabe in Teilbereiche, die zuerst berechnet und danach zusammengefasst werden. Bei dieser Vorgehensweise benötigt man keine großen Formeln und gelangt zuverlässig zu dem richtigen Ergebnis.

AD106: Wie groß ist die Spannung $U$, wenn durch $R_3$ ein Strom von 1 mA fließt und alle Widerstände $R_1$ bis $R_3$ je 10 kOhm betragen?
Der folgende Alt-Text wurde noch nicht geprüft: Kurzfassung: Schaltplan mit drei Widerständen: R1 liegt in der oberen Leitung in Serie, danach verzweigt der Strom auf zwei parallele Zweige mit R2 und R3; links ist die Spannung U mit Plus oben und Minus unten angegeben, der Strompfeil I zeigt nach rechts. Detailbeschreibung: Links verbinden zwei offene Klemmen die obere und untere Sammelschiene; neben der linken Vertikalleitung steht „U“, mit „+“ am oberen Anschluss und „−“ am unteren; ein Pfeil entlang dieser Leitung zeigt nach unten. Auf der oberen Sammelschiene ist links ein Pfeil nach rechts mit der Beschriftung „I“. Direkt rechts davon liegt ein rechteckiges Widerstandssymbol mit der Aufschrift „R1“ in Serie. Die obere Leitung führt danach zu einem Knoten (schwarzer Punkt). Von diesem Knoten führt ein senkrechter Zweig nach unten durch einen rechteckigen Widerstand „R2“ zu einem unteren Knoten (schwarzer Punkt) auf der unteren Sammelschiene. Die obere Leitung geht außerdem vom ersten Knoten weiter nach rechts und biegt dann nach unten ab; in diesem rechten Vertikalzweig sitzt ein weiterer rechteckiger Widerstand „R3“, der unten wieder auf die untere Sammelschiene trifft. Die untere Sammelschiene verläuft durchgehend zurück zum linken unteren Anschluss. Sichtbare Beschriftungen: „U“, „+“, „−“, „I“, „R1“, „R2“, „R3“.

Wenn alle Widerstände gleich groß sind und durch $R_3$ ein Strom von 1 mA fließt, dann muss durch $R_2$ auch der gleiche Srtrom fließen, also auch 1 mA. Beide Ströme müssen in der Summe durch $R_1$ fließen. Alles klar? Wie komme ich nun auf die Gesamtspannung U? Diese Spannung muss so groß sein, dass durch den Gesamtwiderstand auch der Gesamtstrom fließen kann. Der Gesamtstrom entspricht dem Strom durch $R_1$. Eine kleine Formel hilft nun bei der Berechnung. U = I * R = 2 mA * 15 kΩ

AD107: Wie groß ist der Strom durch $R_3$, wenn $U$ = 15 V und alle Widerstände $R_1$ bis $R_3$ je 10 kOhm betragen?
Der folgende Alt-Text wurde noch nicht geprüft: Kurzfassung: Schaltplan mit drei Widerständen: R1 liegt in der oberen Leitung in Serie, danach verzweigt der Strom auf zwei parallele Zweige mit R2 und R3; links ist die Spannung U mit Plus oben und Minus unten angegeben, der Strompfeil I zeigt nach rechts. Detailbeschreibung: Links verbinden zwei offene Klemmen die obere und untere Sammelschiene; neben der linken Vertikalleitung steht „U“, mit „+“ am oberen Anschluss und „−“ am unteren; ein Pfeil entlang dieser Leitung zeigt nach unten. Auf der oberen Sammelschiene ist links ein Pfeil nach rechts mit der Beschriftung „I“. Direkt rechts davon liegt ein rechteckiges Widerstandssymbol mit der Aufschrift „R1“ in Serie. Die obere Leitung führt danach zu einem Knoten (schwarzer Punkt). Von diesem Knoten führt ein senkrechter Zweig nach unten durch einen rechteckigen Widerstand „R2“ zu einem unteren Knoten (schwarzer Punkt) auf der unteren Sammelschiene. Die obere Leitung geht außerdem vom ersten Knoten weiter nach rechts und biegt dann nach unten ab; in diesem rechten Vertikalzweig sitzt ein weiterer rechteckiger Widerstand „R3“, der unten wieder auf die untere Sammelschiene trifft. Die untere Sammelschiene verläuft durchgehend zurück zum linken unteren Anschluss. Sichtbare Beschriftungen: „U“, „+“, „−“, „I“, „R1“, „R2“, „R3“.

Dieses Mal ist die Gesamtspannung angegeben und der Strom durch $R_3$ ist gesucht. Da alle Widerstände wieder 10 kΩ betragen, ergibt sich ein Gesamtwiderstand wie in der vorherigen Aufgabe. Der Gesamtstrom lässt sich mit der bekannten Formel $I = \frac {U}{R}$ ermitteln. Durch $R_3$ fließt wieder die Hälfte des Gesamtstroms, da $R_2$ und $R_3$ gleich groß sind.

AD108: Welche Leistung tritt in $R_2$ auf, wenn $U$ = 15 V und alle Widerstände $R_1$ bis $R_3$ je 10 kOhm betragen?
Der folgende Alt-Text wurde noch nicht geprüft: Kurzfassung: Schaltplan mit drei Widerständen: R1 liegt in der oberen Leitung in Serie, danach verzweigt der Strom auf zwei parallele Zweige mit R2 und R3; links ist die Spannung U mit Plus oben und Minus unten angegeben, der Strompfeil I zeigt nach rechts. Detailbeschreibung: Links verbinden zwei offene Klemmen die obere und untere Sammelschiene; neben der linken Vertikalleitung steht „U“, mit „+“ am oberen Anschluss und „−“ am unteren; ein Pfeil entlang dieser Leitung zeigt nach unten. Auf der oberen Sammelschiene ist links ein Pfeil nach rechts mit der Beschriftung „I“. Direkt rechts davon liegt ein rechteckiges Widerstandssymbol mit der Aufschrift „R1“ in Serie. Die obere Leitung führt danach zu einem Knoten (schwarzer Punkt). Von diesem Knoten führt ein senkrechter Zweig nach unten durch einen rechteckigen Widerstand „R2“ zu einem unteren Knoten (schwarzer Punkt) auf der unteren Sammelschiene. Die obere Leitung geht außerdem vom ersten Knoten weiter nach rechts und biegt dann nach unten ab; in diesem rechten Vertikalzweig sitzt ein weiterer rechteckiger Widerstand „R3“, der unten wieder auf die untere Sammelschiene trifft. Die untere Sammelschiene verläuft durchgehend zurück zum linken unteren Anschluss. Sichtbare Beschriftungen: „U“, „+“, „−“, „I“, „R1“, „R2“, „R3“.

Achtung: Hier werden KiloOhm mit Milliampere multipliziert. Die Lösung ist aber in Milliwatt angegeben. Hinweis: 1 mW = 1/1000 W = 0,001 W; 1 W = 1000 mW Jetzt wird es etwas schwieriger, da nach der Leistung an $R_2$ gefragt wird. Die Gesamtspannung und die Widerstandswerte entsprechen der vorherigen Aufgabe, deshalb fließt durch $R_2$ der gleiche Strom wie durch $R_3$ und entspricht dem halben Strom wie durch $R_1$. Es ist zuerst der Gesamtstrom zu berechnen. $I = \frac {U}{R_{ges}}$ ; danach $I_2 = \frac {I}{2}$ Die Leistung berechnet man mit der Formel P = U x I. Hier müssen die Werte, wie sie an dem gesuchten Widerstand auftreten, eingesetzt werden. Also $P_2$ = $U_2$ * $I_2$ Oh, eines neues Problem. $U_2$ ist noch nicht bekannt, läßt sich aber berechnen. $U_2$ = $R_2$ * $I_2$ = 10 kΩ * 0,5 mA $P_2$ = 10 kΩ * 0,5 mA * 0,5 mA; Da steckt doch die bekannte Formel $P = I^2 * R$ dahinter. (siehe Formelsammlung Seite 235 Mitte links – Stichwort: Leistung)

In der folgenden Widerstandsschaltung ist ein veränderbarer Widerstand (Potenziometer) eingebaut. Der Widerstandswert kann von 0 kΩ bis auf maximal 1 kΩ verändert werden. Egal in welcher Stellung sich der Schleifer des Potenziometers befindet, der Gesamtwiderstand muss immer kleiner als 300 Ω sein!

AD109: In welchem Bereich liegt der Eingangswiderstand der folgenden Schaltung, wenn $R$ alle Werte von 0 Ohm bis 1 kOhm annehmen kann?
Der folgende Alt-Text wurde noch nicht geprüft: Ein Schaltplan mit drei rechteckigen Widerständen, von denen zwei mit

Lösung mit Rechnung: 100 Ω mit 200 Ω parallel (Potenziometer steht auf 0 Ω) ergibt einen Gesamtwiderstand von (100 Ω * 200 Ω) / (100 Ω + 200 Ω) = 67 Ω

100 Ω mit 1200 Ω (Potenziometer steht auf 1 kΩ) in Parallelschaltung ergibt einen Gesamtwiderstand von $\frac {100 Ω * 200 Ω}{(100 Ω + 200 Ω)} = 92 Ω . Zum Ergebnis muss noch der vorgeschaltete Widerstand mit 200 Ω addiert werden. Begründung gewünscht? Die Parallelschaltung von 100 Ω mit 200 Ω (Potenziometer steht auf 0 Ω) oder 100 Ω mit 1,2 kΩ (Potenziometer steht auf 1 kΩ) ergibt immer einen Wert kleiner als 100 Ω. Wenn noch 200 Ω addiert werden, wird er Gesamtwiderstand nicht größer als 300 Ω sein. Es gibt nur eine Lösung, bei der dies erfüllt ist. Ganz ohne Rechnung gelöst, UFB !

Nun untersuchen wir eine Widerstandsschaltung mit 4 Widerständen, die oft verwendet wird. Jeweils zwei Spannungsteiler in Parallelschaltung ergeben eine sogenannte Brückenschaltung. Brückenschaltungen werden z. B. in Widerstandsmessgeräten nach dem Prinzip einer Wheatstone Messbrücke angewendet.

AD110: Wenn $\textrm{R}_1$ und $\textrm{R}_3$ je 2,2 kOhm haben und $\textrm{R}_2$ und $\textrm{R}_4$ je 220 Ohm betragen, hat die Schaltung zwischen den Punkten a und b einen Gesamtwiderstand von ...
Der folgende Alt-Text wurde noch nicht geprüft: Das Bild zeigt einen Schaltplan mit vier Widerständen, die als Rechtecke dargestellt sind. Die Widerstände sind mit R1, R2, R3 und R4 beschriftet. Die Widerstände sind in einer Brückenschaltung angeordnet. Oben rechts ist ein Punkt mit der Bezeichnung

Der Gesamtwiderstand lässt sich schrittweise ermitteln. Zuerst wird die Reihenschaltung berechnet und ergibt einen Gesamtwiderstand von 220 Ω + 2,2 kΩ = 2,42 kΩ. 2,42 kΩ liegen auch zwei Mal parallel, deshalb muss der Gesamtwiderstand die Hälfte betragen.

Das Ergebnis ist in Ohm angegeben.

1) Kurzbeschreibung: Schaltplan mit zwei parallelen horizontalen Leitern; beide mit Anschlusspunkten am linken Ende; zwischen beiden Anschlusspunkten ein vertikaler Pfeil „U_B“; im oberen horizontalen Leiter ein Pfeil nach rechts „I_1“; zwischen beiden horizontalen Leitern ein vertikaler Leiter mit zwei in Reihe geschalteten Widerständen „R_1“ und „R_2“ und einem Pfeil nach unten „I_2“; links neben den Widerständen jeweils ein Pfeil nach unten „U_1“ bzw. „U_2“; zwischen beiden Widerständen Abzweigung nach rechts, dann nach unten abknickend mit einem weiteren Widerstand „R_L“ parallel zu „R_2“; im weiteren Verlauf des vertikalen Leiters ein Pfeil nach unten „I_L“ und Verbindung zum unteren horizontalen Leiter. 2) Ausführliche Beschreibung: Der Schaltplan besteht aus zwei parallelen horizontalen Leitern. Beide haben einen Anschlusspunkt am linken Ende. Zwischen den Anschlusspunkten ist ein vertikaler Pfeil beschriftet mit „U_B“ eingezeichnet. Im oberen horizontalen Leiter gibt es einen Pfeil nach rechts mit der Beschriftung „I_1“. Zwischen beiden horizontalen Leitern verläuft ein vertikaler Leiter mit zwei in Reihe geschalteten Widerständen, beschriftet mit „R_1“ und „R_2“, und einem Pfeil nach unten mit der Beschriftung „I_2“. Links neben den Widerständen befindet sich jeweils ein Pfeil nach unten mit der Beschriftung „U_1“ bzw. „U_2“. Zwischen beiden Widerständen geht eine Abzweigung nach rechts ab, die nach unten abknickt. Hier ist ein weiterer Widerstand „R_L“ parallel zu „R_2“ eingezeichnet. Im weiteren Verlauf des vertikalen Leiters gibt es einen Pfeil nach unten mit der Beschriftung „I_L“ sowie eine Verbindung zum unteren horizontalen Leiter.
Abbildung A-4.1.1: belasteter Spannungsteiler

In der Praxis ist ein Spannungsteiler oft durch $R_L$ belastet, wie es im Schaltbild zu sehen ist.

AD114: Wie groß ist die Spannung $U_2$ in der Schaltung mit folgenden Werten: $U_{\textrm{B}} = 12 V$, $R_1 = 10 k\Omega$, $R_2 = 2,2 k\Omega$, $R_{\textrm{L}} = 8,2 k\Omega$
1) Kurzbeschreibung: Schaltplan mit zwei parallelen horizontalen Leitern; beide mit Anschlusspunkten am linken Ende; zwischen beiden Anschlusspunkten ein vertikaler Pfeil „U_B“; im oberen horizontalen Leiter ein Pfeil nach rechts „I_1“; zwischen beiden horizontalen Leitern ein vertikaler Leiter mit zwei in Reihe geschalteten Widerständen „R_1“ und „R_2“ und einem Pfeil nach unten „I_2“; links neben den Widerständen jeweils ein Pfeil nach unten „U_1“ bzw. „U_2“; zwischen beiden Widerständen Abzweigung nach rechts, dann nach unten abknickend mit einem weiteren Widerstand „R_L“ parallel zu „R_2“; im weiteren Verlauf des vertikalen Leiters ein Pfeil nach unten „I_L“ und Verbindung zum unteren horizontalen Leiter. 2) Ausführliche Beschreibung: Der Schaltplan besteht aus zwei parallelen horizontalen Leitern. Beide haben einen Anschlusspunkt am linken Ende. Zwischen den Anschlusspunkten ist ein vertikaler Pfeil beschriftet mit „U_B“ eingezeichnet. Im oberen horizontalen Leiter gibt es einen Pfeil nach rechts mit der Beschriftung „I_1“. Zwischen beiden horizontalen Leitern verläuft ein vertikaler Leiter mit zwei in Reihe geschalteten Widerständen, beschriftet mit „R_1“ und „R_2“, und einem Pfeil nach unten mit der Beschriftung „I_2“. Links neben den Widerständen befindet sich jeweils ein Pfeil nach unten mit der Beschriftung „U_1“ bzw. „U_2“. Zwischen beiden Widerständen geht eine Abzweigung nach rechts ab, die nach unten abknickt. Hier ist ein weiterer Widerstand „R_L“ parallel zu „R_2“ eingezeichnet. Im weiteren Verlauf des vertikalen Leiters gibt es einen Pfeil nach unten mit der Beschriftung „I_L“ sowie eine Verbindung zum unteren horizontalen Leiter.

Die Spannung $U_2$ muss dann im Vergleich zum unbelasteten Spannungsteiler kleiner werden . $U_2$ kann man ermitteln, indem zuerst der Gesamtwiderstand $ R_{2L}$ der Parallelschaltung von $R_2$ und $R_L$ berechnet wird. Danach berechnet man den Gesamtwiderstand $R_{ges}$ der Schaltung und mit I = $\frac {U}{R_{ges}}$ den Gesamtstrom. Dieser Strom fließt auch durch den $R_{2L}$ und bewirkt den Spannungsfall $U_2$.

Lösungshilfen: AD 106: 30 V AD 107: 0,5 mA AD 108: 2,5 mW AD 109: 267 – 292 Ω AD 110: 1210 Ω AD 114: 1,8 V

Es gibt auch ein Experiment.

Zusammenfassung
Aufgabe in Teilbereiche zerlegen
Teilbereiche berechnen
Kontrollüberlegung, ob das Ergenis stimmen kann
Tabelle A-4.1.2: Zusammenfassung
*Zusammenfassung*: Aufgabe in Teilbereiche zerlegen Teilbereiche berechnen Kontrollüberlegung, ob das Ergenis stimmen kann
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