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Spitzen- und Effektivwert

Sinusförmige Wechselspannungen ändern ihren Wert fortlaufend. Um sie besser beschreiben zu können, wollen wir uns im Folgenden drei wichtige Kenngrößen ansehen:

  1. $\hat{U}$: Den Spitzenwert eine Wechselspannung
  2. $U_\text{SS}$: der Spitze-Spitze-Wert
  3. $U_\text{eff}$: der Effektivwert

Der folgende Alt-Text wurde noch nicht geprüft: Kurzfassung: Diagramm einer orangefarbenen Sinusspannung U über der Zeit t mit Markierungen T, Û, U_eff und U_ss. Detailbeschreibung: - Links eine vertikale Achse mit Pfeil nach oben und Beschriftung U; durch das Bild verläuft eine horizontale Achse mit Pfeil nach rechts und Beschriftung t. Auf der t-Achse sind mehrere kleine, gleichmäßig verteilte Teilstriche. - Oben über der Grafik ein waagerechter Doppelpfeil über die gesamte Breite, beschriftet T. - Eine orangefarbene Sinuskurve beginnt links bei U=0, steigt zu einem positiven Scheitel links der Mitte, fällt durch U=0 rechts der Mitte, erreicht ein negatives Minimum weiter rechts und kehrt am rechten Rand zu U=0 zurück (eine volle Periode). - Am positiven Scheitel steht ein senkrechter Doppelpfeil vom Nulllinie‑Niveau bis zur Scheitelhöhe, beschriftet Û; auf Scheitelhöhe verläuft eine feine graue waagerechte Hilfslinie. - Weiter rechts auf der fallenden Flanke zeigt ein kürzerer senkrechter Doppelpfeil vom Nulllinie‑Niveau zur Kurve, beschriftet U_eff; seine Höhe ist mit einer kurzen grauen waagerechten Hilfslinie angedeutet. - Rechts der Mitte ist eine senkrechte Linie durch die t-Achse eingezeichnet; daran ein langer senkrechter Doppelpfeil mit Spitzen nach oben und unten, beschriftet U_ss, dessen obere und untere Spitze in etwa die positive Scheitelhöhe bzw. die negative Talhöhe markieren.
Abbildung EA-3.5.1: Die drei Kenngrößen einer Wechselspannung

Der Spitzenwert einer Wechselspannung $\hat{U}$ entspricht der Amplitude, die wir bereits in der Klasse N kennengelernt haben (vgl. Abbildung EA-3.5.1). Er ist unter anderem wichtig für die Spannungsfestigkeit von Kondensatoren. Abbildung EA-3.5.2 zeigt zwei bedrahtete Elektrolytkondensatoren, auf denen die zulässige Spannungsfestigkeit aufgedruckt ist. Der Spitzenwert der anliegenden Spannung darf diesen Grenzwert nicht überschreiten, da sonst die Zerstörung des Kondensators droht. Häufig wählt man Bauteile mit einer höheren Spannungsfestigkeit als erforderlich – entweder aus Sicherheitsgründen oder zur Verlängerung der Lebensdauer.

Der folgende Alt-Text wurde noch nicht geprüft: Kurzfassung: Zwei liegende Elektrolytkondensatoren mit Drahtanschlüssen auf einer dunklen, rauen Arbeitsfläche. Detailbeschreibung: Oben ein größerer, zylindrischer Kondensator mit schwarzem Gehäuse und grauem Ring am unteren Ende; in weißer Schrift steht mehrfach „6200 µF 16 V“, die beiden Anschlussdrähte ragen nach rechts heraus. Darunter ein etwas kleinerer, dunkelgrüner Kondensator mit gelb-goldener Aufschrift „2200 µF 25 V“ und zusätzlichen Markierungen auf einem olivfarbenen Streifen; auch hier führen zwei Drähte nach rechts. Die Oberfläche zeigt Kratzer und Staub, das Licht erzeugt glänzende Reflexe auf den Kondensatoren, die nahezu parallel zueinander liegen.
Abbildung EA-3.5.2: Elektrolytkondensatoren mit den Spannungsfestigkeiten 16 Volt und 25 Volt

Eine weitere Kenngröße ist der Spitze-Spitze-Wert. Das ist der Unterschied zwischen dem höchsten und dem niedrigsten Ausschlag. Für Sinusförmige Wechselspannungen gilt:

$U_\text{SS} = 2\cdot \hat{U}$.

EB406: Wie groß ist der Spitzen-Spitzen-Wert der in diesem Schirmbild dargestellten Spannung?
1) Kurzbeschreibung: Sinusförmige Kurve in einem Koordinatensystem mit den Achsenbeschriftungen „3 V/Div.“ (vertikal) und „3 µs/Div.“ (horizontal). 2) Ausführliche Beschreibung: Das Bild zeigt ein rechteckiges Diagramm mit einem Gitternetz. Links am Rand steht die vertikale Achsenbeschriftung „3 V/Div.“, unten rechts die horizontale Achsenbeschriftung „3 µs/Div.“. Eine Sinuskurve verläuft von links nach rechts: Sie startet am linken Rand auf der Nulllinie, steigt zu einem Maximum, fällt über die Nulllinie hinaus zu einem Minimum, steigt wieder zu einem Maximum und endet am rechten Rand in einem Minimum.
EB407: Wie groß ist der Spitzen-Spitzen-Wert ($U_{\textrm{ss}}$) der in der Abbildung dargestellten Spannung?
1) Kurzbeschreibung: Sinusförmige Kurve in einem Koordinatensystem mit den Achsenbeschriftungen „10 V/Div.“ (vertikal) und „5 ms/Div.“ (horizontal). 2) Ausführliche Beschreibung: Das Bild zeigt ein rechteckiges Diagramm mit einem Gitternetz. Links am Rand steht die vertikale Achsenbeschriftung „10 V/Div.“, unten rechts die horizontale Achsenbeschriftung „5 ms/Div.“. Eine Sinuskurve verläuft von links nach rechts: Sie startet am linken Rand auf der Nulllinie, steigt zu einem Maximum, fällt über die Nulllinie hinaus zu einem Minimum, steigt wieder zu einem Maximum und endet am rechten Rand in einem Minimum.

Wenn nicht die Spannungs-, sondern die Leistung von Geräten oder die Wärmebelastung von Bauteilen und Leitungen im Vordergrund steht, ist der Spitzenwert nicht hilfreich. Für diesen Fall hat man den Effektivwert definiert. Der Effektivwert einer Wechselspannung entspricht dem Wert einer Gleichspannung, die einen ohmschen Widerstand genauso stark erwärmen würde.

Bei sinusförmigen Spannungen ist der Spitzen- oder Scheitelwert etwa 1,4-mal so groß wie der Effektivwert (siehe Abbildung EA-3.5.1). Die genaue Rechnung führt zu einer einfachen Formel:

$U_{eff} = \frac{\hat{U}}{\sqrt{2}}$ oder $\hat{U} = U_{eff} \cdot \sqrt{2}$

Wird eine Wechselspannung nur mit dem Buchstaben $U$ ohne Zusatz angegeben, ist in der Regel der Effektivwert gemeint. Das bekannteste Beispiel ist unsere Netzspannung von $\qty{230}{\volt}$ – auch hierbei handelt es sich um den Effektivwert. Die Spitzenspannung liegt deutlich höher, nämlich bei

$\hat{U} = \qty{230}{\volt} \cdot \sqrt{2} \approx \qty{325}{\volt}$.

Die genaue Herleitung dieser Formel erfolgt mithilfe der Integralrechnung und geht über das für die Amateurfunkprüfung erforderliche Wissen hinaus. Wer mit der Integralrechnung vertraut ist und sich dafür interessiert, kann die Herleitung hier nachlesen: Wikipedia

EB401: Der Spitzenwert an einer häuslichen, einphasigen 230 V-Stromversorgung beträgt ...

Der Wert für $U_\text{SS}$ ergibt für die Netzspanngung dann das Doppelte des Spitzenwerts:

$$ U_\text{SS} = 2 \cdot \qty{230}{\volt} \cdot \sqrt{2} \approx \qty{651}{\volt}$$
EB402: Der Spitze-Spitze-Wert der häuslichen 230 V-Spannungsversorgung beträgt ...

Nach dem gleichen Prinzip funktioniern auch die beiden folgenden Fragen:

EB403: Ein sinusförmiges Signal hat einen Effektivwert von 12 V. Wie groß ist in etwa der Spitzen-Spitzen-Wert?
EB404: Eine sinusförmige Wechselspannung hat einen Spitzenwert von 12 V. Wie groß ist in etwa der Effektivwert der Wechselspannung?

Bei der nächsten Frage wird indirekt nach dem Effektivwert der Spannung gefragt. Wenn man weiß, das $\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0,7$ ist kann man die beiden Ergebnisse direkt ablesen.

Wichtig ist, dass sowohl die Gleichspannung $\qty{0,7}{\volt}$ als auch die Gleichspannung $\qty{-0,7}{\volt}$ zum gleichen Ergebnis führen. Das liegt daran, dass sich bei einer negativen Spannung auch das Vorzeichen des Stroms ändert, was jedoch trotzdem zur gleichen Leistung führt – denn es gilt $P = U \cdot I$.

EB405: Welche der im folgenden Diagramm eingezeichneten Gleichspannungen setzen an einem Wirkwiderstand etwa die gleiche Leistung um wie die dargestellte sinusförmige Wechselspannung?
1) Kurzbeschreibung: Diagramm mit einer horizontalen Achse „t“, einer vertikalen Achse „U“. Markierungen „1“, „0,7“, „0,5“, „–0,5“, „–0,7“ und „–1“ auf der vertikalen Achse. Sinuskurve beginnend im Nullpunkt, nach rechts zu einem Maximum bei „1“ ansteigend, dann über die Nulllinie hinaus bis zu einem Minimum bei „–1“ abfallend und wieder über die Nulllinie hinaus ansteigend. 2) Ausführliche Beschreibung: Ein Koordinatensystem hat eine horizontale Achse mit der Beschriftung „t“ und eine vertikale Achse mit der Beschriftung „U“. Auf der vertikalen Achse befinden sich Markierungen „1“, „0,7“, „0,5“, „–0,5“, „–0,7“ und „–1“. Eine Sinuskurve beginnt im Nullpunkt, steigt nach rechts zu einem Maximum bei „1“, fällt dann über die Nulllinie hinaus zu einem Minimum bei „–1“ und steigt dann wieder über die Nulllinie hinaus an.

Übrigens: Alles hier über Wechselspannungen Geschriebene gilt analog für Wechselströme.


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