Den Begriff der Logarithmus und das Dezibel (dB) als Form der logarithmischen Angabe von Leistungsverhältnissen hatten wir bereits eingeführt.
Kurz zur Wiederholung: das Verhältnis a zweier Leistungen $P_1$ und $P_2$ in dB ist:
$a = 10 \cdot \lg \left(\frac{P_1}{P_2}\right)$ dB
Aus dem Dezibel abgeleitet hatten wir die Leistungspegel als logarithmische Maße:
- Leistung bezogen auf
- Leistung bezogen auf
Das Dezibel können wir auch verwenden, um Spannungsverhältnisse und Spannungspegel anzugeben. Dazu berücksichtigen wir, dass die Leistung proportional zum Quadrat der Spannung ist. Also können wir schreiben:
$a = 10 \cdot \lg\left(\frac{P_1}{P_2}\right)
= 10 \cdot \lg\left(\frac{U_1^2}{U_2^2}\right)$
Der Logarithmus einer quadrierten Zahl ist aber gleich zweimal dem Logarithmus der Zahl:
$\lg(x^2)=2 \cdot \lg(x)$
Also:
$10 \cdot \lg\left(\frac{U_1^2}{U_2^2}\right)=20 \cdot \lg\left(\frac{U_1}{U_2}\right)$
Daher berechnen wir ein Verhältnis a zweier Spannungen $U_1$ und $U_2$, indem wir den Logarithmus des Verhältnisses nicht mit dem Faktor 10, sondern mit dem Faktor 20 multiplizieren:
$a = 20 \cdot \lg \left(\frac{U_1}{U_2}\right)$ dB
Bei der Dezibel-Berechnung immer genau beachten, ob es sich um Leistungs- oder Spannungsverhältnisse handelt!
Zur Bestimmung von Spannungspegeln müssen wir wieder erst eine Bezugsspannung festlegen. Bei Empfangssignalen messen wir die (sehr kleinen) Spannungen am Empfängereingang gern in µV. Der zugehörige Spannungspegel hat dann die Einheit dBµV. Beispiel:
$10 \mu V \rightarrow 20 \cdot \lg\left(\frac{10 \mu V}{1 \mu V}\right)=20$ dBµV
*Rechnen mit Logarithmen:*
Einige einfache Rechenregeln ermöglichen die Lösung von Dezibel-Aufgaben ohne Taschenrechner.
- Der Logarithmus eines Produkts zweier Zahlen entspricht der Summe der Logarithmen: $\lg(a\cdot b) = \lg(a)+ \lg(b)$
- Der Logarithmus einer Division zweier Zahlen entspricht der Differenz der Logarithmen: $\lg(a / b) = \lg(a) – \lg(b)$
- Daraus abgeleitet: um den Logarithmus einer quadrierten Zahl zu bestimmen, multiplizieren wir den Logarithmus der Zahl mit dem Faktor 2. Um den Logarithus der Quadratwurzel einer Zahl zu bestimmen, multiplizieren wir den Logarithmus der Zahl mit dem Faktor 1/2.
Nützlich zu merken:
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Mit diesen wenigen Werten lassen sich Lösungen in der Regel zumindest hinreichend genau abschätzen.
Beispiele:
- Welcher Faktor entspricht einem Leistungsverhältnis von
- Wieviel dB entsprcht ein Spannungsverhältnis von 4? $4 = 2 \cdot 2 \rightarrow 6 \text{dB} + 6 \text{dB} =12\ \text{dB}$
