Lernplattform für Amateurfunk

Widerstand in Reihen- und Parallelschaltung

Wir stehen oft vor dem Problem, dass ein gewünschter Widerstandswert nicht in der sogenannten „Widerstands-Normreihe“ enthalten ist. Es könnte auch sein, dass ein Widerstand eine große Verlustleistung umsetzen muss, die in handelsüblichen Einzelwiderständen nicht möglich ist -- um nur zwei Beispiele zu nennen. Wir werden jetzt betrachten, wie wir durch Reihenschaltung oder Parallelschaltung von Widerständen andere Widerstandswerte erhalten können.

Aus dem Ohmschen Gesetz können wir die Regeln von Reihen- und Paralelschaltungen von Widerständen herleiten:

$$U=R \cdot I$$

Dieser Alt-Text wurde noch nicht überprüft. Kurzfassung: Schaltbild mit zwei übereinander angeordneten Widerständen in einem vertikalen Zweig zwischen einer oberen und einer unteren Leitung; oben ein Strompfeil „I“ nach rechts und seitlich drei Spannungs-Pfeile „U_g“, „U1“ und „U2“ nach unten. Detaillierte Beschreibung: Eine horizontale Leitung verläuft oben von links nach rechts und endet links und rechts in kleinen offenen Kreisen; darüber zeigt ein Pfeil mit der Beschriftung „I“ nach rechts. Etwa in der Mitte der oberen Leitung befindet sich ein ausgefüllter Knotenpunkt, von dem eine senkrechte Leitung nach unten führt. In dieser senkrechten Leitung liegt zuerst ein rechteckig gezeichneter Widerstand mit der Beschriftung „R1“. Darunter folgt ein weiterer ausgefüllter Knotenpunkt, von dem nach rechts eine kurze horizontale Leitung zu einem offenen Kreis führt. Weiter unten in der senkrechten Leitung befindet sich ein zweiter rechteckiger Widerstand mit der Beschriftung „R2“. Am unteren Ende trifft die senkrechte Leitung auf eine zweite horizontale Leitung; an der Berührstelle ist ein ausgefüllter Knotenpunkt, die untere Leitung endet links und rechts jeweils in einem offenen Kreis. Links neben dem Schaltbild verläuft ein langer Pfeil von oben nach unten mit der Beschriftung „U_g“. Rechts daneben stehen zwei separate, nach unten gerichtete Pfeile: der obere mit „U1“ auf Höhe von „R1“ und der untere mit „U2“ auf Höhe von „R2“. Alle Linien und Symbole sind in Schwarz auf weißem Hintergrund dargestellt.
Abbildung NE-9.1.1: Spannungsteiler

Die Abbildung NE-9.1.1 zeigt zwei Widerstände $R_1$ und $R_2$, die hinter einander geschaltet werden. Sie vom gleichen Strom I durchflossen. An den Widerständen fallen dann die Spannungen

$U_1 = R_1 \cdot I$ und $U_2 = R_2 \cdot I$ ab. Die Gesamtspannung $U_g$ ist einfach die Summe dieser beiden Spannungen:

$$U_g = U_1 + U_2 = R_{\mathrm{ges}} \cdot {I} = R_1 \cdot I + R_2 \cdot I$$

Jetzt können wir den Widerstand berechnen, der zwischen den äußeren Klemmen zu sehen ist: $R_{\mathrm{ges}} = \frac{U_g}{I} = R_1 + R_2$, weil sich auf beiden Seiten der Gleichung der Strom $I$ rauskürzt.

Das Ganze funktioniert auch bei mehr als zwei Widerständen, wie in der Formelsammlung dargestellt:

$$R_{\mathrm{ges}} = R_1 + R_2 + R_3 + R_4 + \dots$$

Doch wie verhält es sich, wenn wir zwei Widerstände $R_1$ und $R_2$ parallel schalten wie in Abbildung NE-9.1.2 gezeigt?

Jetzt liegt an beiden Widerständen die selbe Spannung $U$ an, die in den Widerständen die Ströme

$I_1 = \frac{U}{R_1}$ und $I_2 = \frac{U}{R_2}$

fließen lässt.

Dieser Alt-Text wurde noch nicht überprüft. Zusammenfassung: Schaltbild mit zwei vertikalen Widerständen R1 und R2, die zwischen einer oberen und unteren Sammelschiene liegen; oben ist der Gesamtstrom „I“ nach rechts eingezeichnet, in den beiden Ästen fließen die Teilströme „I1“ und „I2“ nach unten, daneben ist jeweils die Spannung „U“ markiert. Detaillierte Beschreibung: Links oben und links unten befinden sich offene Anschlussklemmen (kleine offene Kreise), verbunden durch eine umlaufende Leitungsführung: eine waagerechte obere Leitung, eine rechte senkrechte Leitung und eine waagerechte untere Leitung. Auf der oberen Leitung steht links ein Pfeil mit der Beschriftung „I“, der nach rechts zeigt. Von der oberen Leitung führen zwei senkrechte Abzweige nach unten zur unteren Leitung: links ein Abzweig mit einem rechteckigen Bauteilsymbol, beschriftet „R1“, daneben ein langer Pfeil nach unten mit der Beschriftung „U“; unterhalb des Bauteils im gleichen Ast ein kleiner Pfeil nach unten mit der Beschriftung „I1“. Rechts ein zweiter, gleichartiger Abzweig mit einem rechteckigen Bauteilsymbol, beschriftet „R2“, daneben ein Pfeil nach unten mit „U“ und darunter ein Pfeil nach unten mit „I2“. Schwarze Punkte markieren die Knoten an den Abzweigungen.
Abbildung NE-9.1.2: In dieser Schaltung sind alle Spannungen und Ströme zu sehen.

Der im äußeren Stromkreis fließende Strom ist die Summe dieser beiden Ströme:

$$I = I_1 + I_2 = \frac{U}{R_1} + \frac{U}{R_2}$$

Wir suchen wieder einen Gesamtwiderstand $R_{\mathrm{ges}}$, für den dann gelten muss: $I=\frac{U}{R_{\mathrm{ges}}}$ und folglich:

$$\dfrac{1}{R_{\mathrm{ges}}} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}$$

Der Kehrwert des Gesamtwiderstands ist also die Summe der Kehrwerte der Einzelwiderstände. Eine Konsequenz ist, dass man bei einer Parallelschaltung einer Reihe gleicher Widerstände einfach den Wert des einzelnen Widerstands durch die Anzahl der Widerstände teilt.

Auch hier können wir die Berechnung für beliebig viele parallele Widerstände durchführen (vgl. Formelsammlung):

$$\dfrac{1}{R_{\mathrm{ges}}} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \dfrac{1}{R_3} + \dfrac{1}{R_4} + \dots$$

Den Ausdruck für zwei parallele Widerstände können wir nach den Regeln der Bruchrechnung auch schreiben als:

$$R_{\mathrm{ges}} = \dfrac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}$$

Bei der Reihenschaltung ist die Wert des Gesamtwiderstands immer größer als der größte Einzelwiderstand. Bei der Parallelschaltung ist der Gesamtwiderstand immer kleiner als der kleinste Einzelwiderstand.

ED104: Zwei Widerstände mit $R_1 = 100 Ohm$ und $R_2 = 400 Ohm$ sind parallel geschaltet. Wie groß ist der Gesamtwiderstand?
ED105: Zwei Widerstände mit $R_1$ = 50 Ohm und $R_2$ = 200 Ohm sind parallel geschaltet. Wie groß ist der Gesamtwiderstand?
ED106: Drei gleich große parallel geschaltete Widerstände haben einen Gesamtwiderstand von 1,7 kOhm. Welchen Wert hat jeder Einzelwiderstand?

Genau darauf achten, dass die in der Rechnung verwendeten Widerstände immer die selben Einheiten haben. Wir empfehlen immer, möglichst auf die Grundeinheit ($\unit{\ohm}$) zu gehen. Schalten wir z. B. einen $\qty{1}{\kilo\ohm}$- und einen $\qty{10}{\ohm}$-Widerstand in Reihe, dann rechnen wir $\qty{1000}{\ohm} + \qty{10}{\ohm} = \qty{1010}{\ohm}$.

Einige der Aufgaben enthalten Widerstandsnetzwerke, in denen sowohl eine Reihen- als auch eine Parallelschaltung vorkommt. Da gehen wir so vor, dass wir erst z. B. die Parallelschaltung in einen äquivalenten Widerstand umwandeln, den wir dann mit dem in Reihe geschalteten dritten Widerstand zusammenfassen. Oder halt umgekehrt, je nach dem, was sich anhand des Schaltbildes anbietet.

1) Kurzbeschreibung: Schaltplan in rechteckiger Leitungsführung aus zwei horizontalen Leitern und mit zwei Anschlusspunkten links; im oberen horizontalen Zweig ein Widerstand „R_1“ und im rechten vertikalen Teil zwei parallel geschaltete Widerstände, beschriftet mit „R_2“ und „R_3“. 2) Ausführliche Beschreibung: Der Schaltplan enthält einen rechteckigen Schaltkreis aus zwei horizontalen Leitern Leitern und mit zwei Anschlusspunkten links oben und unten. Im oberen horizontalen Zweig gibt es einen Widerstand „R_1“. Im rechten vertikalen Teil liegt ein Widerstand, beschriftet mit „R_2“, und parallel dazu ein dritter Widerstand „R_3“. Ein horizontaler Leiter führt vom unteren Ende der beiden vertikalen Widerstände zum unteren Anschlusspunkt. Es sind keine weiteren Zahlen, Werte oder Textbeschriftungen vorhanden.
Abbildung NE-9.1.3: Beispielschaltung

Ein wichtiges Lösungsverfahren ist die „Methode des scharfen Hinsehens“ ... da gibt es zum Beispiel eine Schaltung, die einen Widerstand $R_1$ in Reihe mit zwei parallel geschalteten Widerständen $R_2$ und $R_3$ hat. Die Werte sind $R_1 = \qty{1}{\kilo\ohm}$, $R_2 = \qty{2000}{\ohm}$ und $R_3 = \qty{2}{\kilo\ohm}$. Nun sind aber $\qty{2}{\kilo\ohm} = \qty{2000}{\ohm}$. Die Paralellschaltung von $R_2$ und $R_3$ ergibt einen Widerstand, der halb so groß ist: $\qty{1000}{\ohm} = \qty{1}{\kilo\ohm}$. Den schalten wir in Reihe mit $R_1$ und erhalten das Ergebnis: $R_{\mathrm{ges}} = \qty{2}{\kilo\ohm}$.

ED111: Wie groß ist der Gesamtwiderstand der Schaltung? Gegeben: $R_1$ = 1 kOhm, $R_2$ = 2000 Ohm und $R_3$ = 2 kOhm
1) Kurzbeschreibung: Schaltplan in rechteckiger Leitungsführung aus zwei horizontalen Leitern und mit zwei Anschlusspunkten links; im oberen horizontalen Zweig ein Widerstand „R_1“ und im rechten vertikalen Teil zwei parallel geschaltete Widerstände, beschriftet mit „R_2“ und „R_3“. 2) Ausführliche Beschreibung: Der Schaltplan enthält einen rechteckigen Schaltkreis aus zwei horizontalen Leitern Leitern und mit zwei Anschlusspunkten links oben und unten. Im oberen horizontalen Zweig gibt es einen Widerstand „R_1“. Im rechten vertikalen Teil liegt ein Widerstand, beschriftet mit „R_2“, und parallel dazu ein dritter Widerstand „R_3“. Ein horizontaler Leiter führt vom unteren Ende der beiden vertikalen Widerstände zum unteren Anschlusspunkt. Es sind keine weiteren Zahlen, Werte oder Textbeschriftungen vorhanden.
ED110: Wie groß ist der Gesamtwiderstand der Schaltung? Gegeben: $R_1$ = 500 Ohm, $R_2$ = 1000 Ohm und $R_3$ = 1 kOhm
1) Kurzbeschreibung: Schaltplan in rechteckiger Leitungsführung aus zwei horizontalen Leitern und mit zwei Anschlusspunkten links; im oberen horizontalen Zweig ein Widerstand „R_1“ und im rechten vertikalen Teil zwei parallel geschaltete Widerstände, beschriftet mit „R_2“ und „R_3“. 2) Ausführliche Beschreibung: Der Schaltplan enthält einen rechteckigen Schaltkreis aus zwei horizontalen Leitern Leitern und mit zwei Anschlusspunkten links oben und unten. Im oberen horizontalen Zweig gibt es einen Widerstand „R_1“. Im rechten vertikalen Teil liegt ein Widerstand, beschriftet mit „R_2“, und parallel dazu ein dritter Widerstand „R_3“. Ein horizontaler Leiter führt vom unteren Ende der beiden vertikalen Widerstände zum unteren Anschlusspunkt. Es sind keine weiteren Zahlen, Werte oder Textbeschriftungen vorhanden.
ED112: Wie groß ist der Gesamtwiderstand dieser Schaltung, wenn $R_1$ = 1 kOhm, $R_2$ = 3 kOhm und $R_3$ = 1500 Ohm betragen?
1) Kurzbeschreibung: Schaltplan in rechteckiger Leitungsführung aus zwei horizontalen Leitern und mit zwei Anschlusspunkten links; im oberen horizontalen Zweig ein Widerstand „R_1“ und im rechten vertikalen Teil zwei parallel geschaltete Widerstände, beschriftet mit „R_2“ und „R_3“. 2) Ausführliche Beschreibung: Der Schaltplan enthält einen rechteckigen Schaltkreis aus zwei horizontalen Leitern Leitern und mit zwei Anschlusspunkten links oben und unten. Im oberen horizontalen Zweig gibt es einen Widerstand „R_1“. Im rechten vertikalen Teil liegt ein Widerstand, beschriftet mit „R_2“, und parallel dazu ein dritter Widerstand „R_3“. Ein horizontaler Leiter führt vom unteren Ende der beiden vertikalen Widerstände zum unteren Anschlusspunkt. Es sind keine weiteren Zahlen, Werte oder Textbeschriftungen vorhanden.
ED113: Wie groß ist der Gesamtwiderstand dieser Schaltung, wenn $R_1$ = 10 kOhm, $R_2$ = 2,5 kOhm, $R_3$ = 500 Ohm und $R_4$ = 600 Ohm betragen?
1) Kurzbeschreibung: Schaltplan in rechteckiger Leitungsführung; in der Mitte drei Widerstände („R_1“, „R_2“ und „R_3“) parallel geschaltet und an beiden Enden mit einem horizontalen Leiter verbunden; rechts davon in Reihe ein vierter Widerstand („R_4“). 2) Ausführliche Beschreibung: Der Schaltplan enthält einen rechteckigen Schaltkreis mit einem horizontalen Leiter, der links und rechts einen nicht beschrifteten Anschlusspunkt besitzt. In der Mitte sind drei Widerstände „R_1“, „R_2“ und „R_3“ parallel geschaltet und an beiden Ende mit dem horizontalen Leiter verbunden. Rechts davon befindet sich dazu in Reihe geschaltet ein vierter Widerstand „R_4“.
ED108: Wie groß ist der Gesamtwiderstand der Schaltung? Gegeben: $R_1$ = 500 Ohm, $R_2$ = 500 Ohm und $R_3$ = 1 kOhm
1) Kurzbeschreibung: Schaltplan in rechteckiger Leitungsführung mit zwei parallelen horizontalen Leitern; in der Mitte zwei Widerstände („R_1“ und „R_2“) vertikal in Reihe geschaltet und oben und unten mit den horizontalen Leitern verbunden; parallel dazu ein dritter Widerstand („R_3“). 2) Ausführliche Beschreibung: Der Schaltplan enthält einen rechteckigen Schaltkreis mit zwei parallelen horizontalen Leitern, die jeweils links einen nicht beschrifteten Anschlusspunkt besitzen. Zwischen den beiden Leitern gibt es eine senkrechte Verbindung mit zwei in Reihe geschalteten Widerständen „R_1“ und „R_2“. Parallel dazu ist ein dritter Widerstand „R_3“ geschaltet.
ED109: Wie groß ist der Gesamtwiderstand der Schaltung? Gegeben: $R_1$ = 500 Ohm, $R_2$ = 1,5 kOhm und $R_3$ = 2 kOhm
1) Kurzbeschreibung: Schaltplan in rechteckiger Leitungsführung mit zwei parallelen horizontalen Leitern; in der Mitte zwei Widerstände („R_1“ und „R_2“) vertikal in Reihe geschaltet und oben und unten mit den horizontalen Leitern verbunden; parallel dazu ein dritter Widerstand („R_3“). 2) Ausführliche Beschreibung: Der Schaltplan enthält einen rechteckigen Schaltkreis mit zwei parallelen horizontalen Leitern, die jeweils links einen nicht beschrifteten Anschlusspunkt besitzen. Zwischen den beiden Leitern gibt es eine senkrechte Verbindung mit zwei in Reihe geschalteten Widerständen „R_1“ und „R_2“. Parallel dazu ist ein dritter Widerstand „R_3“ geschaltet.

Bei Leistungsbetrachtungen geht man am Besten von dem bekannten Ausdruck für die Leistung aus:

$$P = U \cdot I$$

Bei der Reihenschaltung von z. B. drei gleichen Widerständen fließt durch alle Widerstände der gleiche Strom, aber an jedem einzelnen Widerstand fällt nur ein Drittel der äußeren Spannung ab. Bei der Parallelschaltung liegt an allen Widerständen die selbe Spannung, aber der Strom teil sich auf drei Pfade auf. In beiden Fällen verträgt also die Schaltung das dreifache der Leistung des einzelnen Widerstandes.

ED107: Welche Belastbarkeit kann die Zusammenschaltung von drei gleich großen Widerständen mit einer Einzelbelastbarkeit von je 1 W erreichen, wenn alle 3 Widerstände entweder parallel oder in Reihe geschaltet werden?

Weiter zum nächsten Abschnitt: Widerstandsnetzwerke I