An vielen Stellen der Hochfrequenztechnik sind Leistungsverhältnisse wichtig, zum Beispiel der Gewinn einer Antenne oder die Dämpfung eines Kabels. Diese Verhältnisse können zum Teil sehr große oder sehr kleine Zahlenwerte annehmen.
So hat z.B. ein Kurzwellenempfänger einen Gesamt-Verstärkungsfaktor von 1 000 000 000 000, also eine Eins mit zwölf Nullen. Da wird das Rechnen sehr unübersichtlich.
Es hat sich daher eingebürgert, Leistungsverhältnisse auf einer logarithmischen Skala anzugeben.
Das Logarithmieren ist die Umkehroperation des Potenzierens. Dazu müssen wir erst einmal eine Basiszahl festlegen – bei den sehr häufig anzutreffenden dekadischen Logarithmen („Zehnerlogarithmen“) ist das die Zahl 10. Dann können wir schreiben:
$a =\log_{10} (b)$, falls $b=10^{a}$
$\log_{10}$ kürzen wir meist mit $\lg$ ab.
Beispiel:
$lg(100)=2$, weil $10^2 = 100$
Ein technisch-wissenschaftlicher Taschenrechner bietet neben dem dekadischen Logarithmus (Beschriftung lg oder log) auch den natürlichen Logarithmus ln an, der als Basis die Eulersche Zahl e=2,7182818… hat. Nicht verwechseln!
Vom dekadischen Logarithmus ist das _Dezibel_ abgeleitet. Der Name ehrt den amerikanischen Gehörlosenlehrer und Telefonpionier („Erfinder“ des Telefons gab es viele ...), Alexander Graham Bell. Im obigen Beispiel hätten wir auch schreiben können:
$\lg(b)=a\ \text{Bel}$
Das _Dezibel_ (dB) ist ein Zehntel Bel. Also:
$10 \cdot \lg(b) = a\ \text{dB}$
Wenn wir nun den zu einem Dezibel-Wert gehörenden Verhältniswert finden wollen, rechnen wir:
$b = 10^{\frac{a/\text{dB}}{10}}$
Nun zurück zu unserem Verstärkungsfaktor des Kurzwellenempfängers. Der dekadische Logarithmus einer Eins mit 12 Nullen ist einfach die Anzahl der Nullen, also 12, multipliziert mit 10, ergibt den Verstärkungsfaktor von
Ganz ohne Taschenrechner lassen sich Dezibelwerte abschätzen, die auf „0“ enden .. einfach die letzte Null zuhalten, die Ziffer gibt dann die Anzahl der Nullen des Verhältnisfaktors an. Beispiel:
In der Frage wird noch der Begriff _Leistungspegel_ verwendet. Das ist das logarithmisch ausgedrückte Verhältnis einer Leistung zu einer Referenzleistung.
So ist die Leistung b bezogen auf 1 Watt:
$a = \left(10\cdot\lg{\frac{b}{1\ \text{W}}}\right)\ \text{dBW}$
bzw. bezogen auf ein Milliwatt:
$a = \left(10\cdot\lg{\frac{b}{1\ \text{mW}}}\right)\ \text{dBm}$
Nun zur Lösung der Frage. Die Leistung wird verdoppelt – um wieviel dB ändert sich der Leistungspegel? Hier ist also das Leistungsverhältnis $b=2$.
$10 \cdot \lg{2} = 3,01\ \text{dB} \approx 3\ \text{dB}$
Negative Dezibelwerte kennzeichnen übrigens Verhältniswerte kleiner als 1. So entspricht -
